\begin{tabular}{|l} Resuelve la siguiente inecuación: \ $$ \frac{t^{3}+8 \cdot t^{2}+11 \cdot t-20}{t^{2}-6 \cdot t-7}0 $$ \ © $$ 0 \quad 26 $$ demar \end{tabular}

Question

\begin{tabular}{|l} Resuelve la siguiente inecuación: \ $$ \frac{t^{3}+8 \cdot t^{2}+11 \cdot t-20}{t^{2}-6 \cdot t-7}>0 $$ \ © $$ 0 \quad 26 $$ demar \end{tabular}

UpStudy AI · Accepted Answer

1. **Factorizamos el numerador y el denominador**

Tenemos la inecuación
   $$
   \frac{t^{3}+8t^{2}+11t-20}{t^{2}-6t-7}>0.
   $$
   
   *Numerador:*  
   Buscamos una raíz racional. Probamos $$t=1$$:
   $$
   1^3+8\cdot1^2+11\cdot1-20=1+8+11-20=0.
   $$
   Por lo tanto, $$t-1$$ es factor. Dividiendo el polinomio entre $$t-1$$ se obtiene:
   $$
   t^3+8t^2+11t-20=(t-1)(t^2+9t+20).
   $$
   Además, se factoriza
   $$
   t^2+9t+20=(t+4)(t+5).
   $$
   Así, el numerador queda:
   $$
   (t-1)(t+4)(t+5).
   $$

*Denominador:*  
   Se factoriza
   $$
   t^2-6t-7=(t-7)(t+1).
   $$

Entonces, la inecuación se transforma en:
   $$
   \frac{(t-1)(t+4)(t+5)}{(t-7)(t+1)}>0.
   $$

2. **Determinar los puntos críticos**

Los puntos críticos se obtienen igualando a cero cada factor del numerador y denominador.

- Numerador:  
     $$
     t-1=0\Rightarrow t=1,\quad t+4=0\Rightarrow t=-4,\quad t+5=0\Rightarrow t=-5.
     $$
     
   - Denominador:  
     $$
     t-7=0\Rightarrow t=7,\quad t+1=0\Rightarrow t=-1.
     $$
     
   Los puntos críticos son:  
   $$
   t=-5,\quad t=-4,\quad t=-1,\quad t=1,\quad t=7.
   $$

3. **Analizar el signo en cada intervalo**

Se dividen los números reales en los siguientes intervalos:
   
   - $$(-\infty,-5)$$
   - $$(-5,-4)$$
   - $$(-4,-1)$$
   - $$(-1,1)$$
   - $$(1,7)$$
   - $$(7,\infty)$$
   
   Evaluamos el signo de cada factor en cada intervalo:

| Intervalo       | $$t-1$$ | $$t+4$$  | $$t+5$$  | $$t-7$$ | $$t+1$$  | Signo total            |
   |-----------------|---------|----------|----------|---------|----------|-------------------------|
   | $$t=-6$$ $$\in (-\infty,-5)$$ | $$-$$   | $$-$$    | $$-$$    | $$-$$   | $$-$$    | Numerador: $$-\cdot -\cdot - = -$$; Denom: $$-\cdot - = +$$; Resultado: $$-$$  |
   | $$t=-4.5$$ $$\in (-5,-4)$$   | $$-$$   | $$-$$    | $$+$$    | $$-$$   | $$-$$    | Numerador: $$-\cdot -\cdot + = +$$; Denom: $$-\cdot - = +$$; Resultado: $$+$$  |
   | $$t=-2$$ $$\in (-4,-1)$$     | $$-$$   | $$+$$    | $$+$$    | $$-$$   | $$-$$    | Numerador: $$-\cdot +\cdot + = -$$; Denom: $$-\cdot - = +$$; Resultado: $$-$$  |
   | $$t=0$$ $$\in (-1,1)$$       | $$-$$   | $$+$$    | $$+$$    | $$-$$   | $$+$$    | Numerador: $$-\cdot +\cdot + = -$$; Denom: $$-\cdot + = -$$; Resultado: $$+$$  |
   | $$t=2$$ $$\in (1,7)$$        | $$+$$   | $$+$$    | $$+$$    | $$-$$   | $$+$$    | Numerador: $$+\cdot +\cdot + = +$$; Denom: $$-\cdot + = -$$; Resultado: $$-$$  |
   | $$t=8$$ $$\in (7,\infty)$$   | $$+$$   | $$+$$    | $$+$$    | $$+$$   | $$+$$    | Numerador: $$+\cdot +\cdot + = +$$; Denom: $$+\cdot + = +$$; Resultado: $$+$$  |

4. **Determinar la solución**

Buscamos los intervalos donde la expresión es mayor que 0.

- Intervalo $$(-5,-4)$$: signo positivo.
   - Intervalo $$(-1,1)$$: signo positivo.
   - Intervalo $$(7,\infty)$$: signo positivo.

Además, se debe tener en cuenta que en los puntos donde el numerador es cero la expresión vale 0 (no se incluye, pues la inecuación es estricta) y donde el denominador es cero la expresión no está definida. Por lo tanto:

- $$t=-5,\, -4,\, 1$$ no se incluyen.
   - $$t=-1$$ y $$t=7$$ se excluyen porque hacen que el denominador se anule.

5. **Respuesta final**

La solución de la inecuación es:
   $$
   t\in (-5,-4)\cup (-1,1)\cup (7,\infty).
   $$
La solución de la inecuación es $$ t $$ perteneciente a los intervalos $$(-5, -4)$$, $$(-1, 1)$$, y $$(7, \infty)$$.

Resuelve la siguiente inecuación:

© demar

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Algebra Questions

Resuelve la siguiente inecuación: © demar