$$ K = \frac { 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + \ldots + 13 ^ { 3 } } { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + \ldots + 13 ^ { 2 } } $$

Question

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Para encontrar el valor de $$ K $$, primero necesitamos calcular la suma de los cubos de los números del 1 al 13 y la suma de los cuadrados de los mismos números.

La fórmula para la suma de los cubos de los números del 1 al $$ n $$ es:
$$ \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 $$

Y la fórmula para la suma de los cuadrados de los números del 1 al $$ n $$ es:
$$ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

Sustituyendo $$ n = 13 $$ en estas fórmulas, obtenemos:
$$ \sum_{i=1}^{13} i^3 = \left( \frac{13(13+1)}{2} \right)^2 $$
$$ \sum_{i=1}^{13} i^2 = \frac{13(13+1)(2*13+1)}{6} $$

Calculando estas sumas, podemos encontrar el valor de $$ K $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\left(\frac{13\left(13+1\right)}{2}\right)^{2}}{\left(\frac{13\left(13+1\right)\left(2\times 13+1\right)}{6}\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{\left(\frac{13\left(13+1\right)}{2}\right)^{2}}{\frac{13\left(13+1\right)\left(2\times 13+1\right)}{6}}$$
- step2: Add the numbers:
  $$\frac{\left(\frac{13\left(13+1\right)}{2}\right)^{2}}{\frac{13\times 14\left(2\times 13+1\right)}{6}}$$
- step3: Multiply the numbers:
  $$\frac{\left(\frac{13\left(13+1\right)}{2}\right)^{2}}{\frac{13\times 14\left(26+1\right)}{6}}$$
- step4: Add the numbers:
  $$\frac{\left(\frac{13\left(13+1\right)}{2}\right)^{2}}{\frac{13\times 14\times 27}{6}}$$
- step5: Reduce the fraction:
  $$\frac{\left(\frac{13\left(13+1\right)}{2}\right)^{2}}{819}$$
- step6: Add the numbers:
  $$\frac{\left(\frac{13\times 14}{2}\right)^{2}}{819}$$
- step7: Reduce the fraction:
  $$\frac{91^{2}}{819}$$
- step8: Rewrite the expression:
  $$\frac{91^{2}}{91\times 9}$$
- step9: Reduce the fraction:
  $$\frac{91}{9}$$
El valor de $$ K $$ es aproximadamente 10.1.
Para calcular $$ K $$, sumamos los cubos de los números del 1 al 13 y los cuadrados de los mismos números, luego dividimos la suma de los cubos por la suma de los cuadrados. El valor de $$ K $$ es aproximadamente 10.1.

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