9) \( 15-2(3 y-2)^{\frac{1}{2}}=y-4 \)

Para resolver la ecuación: \[ 15 - 2\sqrt{3y - 2} = y - 4 \] **Paso 1: Aislar la raíz cuadrada** Primero, trasladamos todos los términos que no contienen la raíz cuadrada al otro lado de la ecuación: \[ 15 - (y - 4) = 2\sqrt{3y - 2} \] Simplificando: \[ 15 - y + 4 = 2\sqrt{3y - 2} \] \[ 19 - y = 2\sqrt{3y - 2} \] **Paso 2: Aislar la raíz cuadrada completamente** Dividimos ambos lados por 2: \[ \frac{19 - y}{2} = \sqrt{3y - 2} \] **Paso 3: Elevar al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz** \[ \left( \frac{19 - y}{2} \right)^2 = 3y - 2 \] \[ \frac{(19 - y)^2}{4} = 3y - 2 \] Multiplicamos ambos lados por 4 para eliminar el denominador: \[ (19 - y)^2 = 12y - 8 \] \[ 361 - 38y + y^2 = 12y - 8 \] **Paso 4: Reorganizar la ecuación cuadrática** Llevamos todos los términos al lado izquierdo: \[ y^2 - 38y - 12y + 361 + 8 = 0 \] \[ y^2 - 50y + 369 = 0 \] **Paso 5: Resolver la ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática** La ecuación es de la forma \( ay^2 + by + c = 0 \), donde \( a = 1 \), \( b = -50 \), y \( c = 369 \). La fórmula cuadrática es: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Sustituyendo los valores: \[ y = \frac{50 \pm \sqrt{(-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 369}}{2} \] \[ y = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1476}}{2} \] \[ y = \frac{50 \pm \sqrt{1024}}{2} \] \[ y = \frac{50 \pm 32}{2} \] Obtenemos dos soluciones: 1. \[ y = \frac{50 + 32}{2} = \frac{82}{2} = 41 \] 2. \[ y = \frac{50 - 32}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] **Paso 6: Verificar las soluciones en la ecuación original** - **Para \( y = 41 \):** \[ 15 - 2\sqrt{3(41) - 2} = 15 - 2\sqrt{123 - 2} = 15 - 2\sqrt{121} = 15 - 22 = -7 \] \[ y - 4 = 41 - 4 = 37 \] \[ -7 \neq 37 \quad \text{(No es válida)} \] - **Para \( y = 9 \):** \[ 15 - 2\sqrt{3(9) - 2} = 15 - 2\sqrt{27 - 2} = 15 - 2\sqrt{25} = 15 - 10 = 5 \] \[ y - 4 = 9 - 4 = 5 \] \[ 5 = 5 \quad \text{(Válida)} \] **Conclusión:** La única solución válida para la ecuación es: \[ y = 9 \]