9) $$ 15-2(3 y-2)^{\frac{1}{2}}=y-4 $$

Question

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Para resolver la ecuación:

$$ 15 - 2\sqrt{3y - 2} = y - 4 $$

**Paso 1: Aislar la raíz cuadrada**

Primero, trasladamos todos los términos que no contienen la raíz cuadrada al otro lado de la ecuación:

$$
15 - (y - 4) = 2\sqrt{3y - 2}
$$

Simplificando:

$$
15 - y + 4 = 2\sqrt{3y - 2}
$$
$$
19 - y = 2\sqrt{3y - 2}
$$

**Paso 2: Aislar la raíz cuadrada completamente**

Dividimos ambos lados por 2:

$$
\frac{19 - y}{2} = \sqrt{3y - 2}
$$

**Paso 3: Elevar al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz**

$$
\left( \frac{19 - y}{2} \right)^2 = 3y - 2
$$
$$
\frac{(19 - y)^2}{4} = 3y - 2
$$

Multiplicamos ambos lados por 4 para eliminar el denominador:

$$
(19 - y)^2 = 12y - 8
$$
$$
361 - 38y + y^2 = 12y - 8
$$

**Paso 4: Reorganizar la ecuación cuadrática**

Llevamos todos los términos al lado izquierdo:

$$
y^2 - 38y - 12y + 361 + 8 = 0
$$
$$
y^2 - 50y + 369 = 0
$$

**Paso 5: Resolver la ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática**

La ecuación es de la forma $$ ay^2 + by + c = 0 $$, donde $$ a = 1 $$, $$ b = -50 $$, y $$ c = 369 $$.

La fórmula cuadrática es:

$$
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Sustituyendo los valores:

$$
y = \frac{50 \pm \sqrt{(-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 369}}{2}
$$
$$
y = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1476}}{2}
$$
$$
y = \frac{50 \pm \sqrt{1024}}{2}
$$
$$
y = \frac{50 \pm 32}{2}
$$

Obtenemos dos soluciones:

1. $$
y = \frac{50 + 32}{2} = \frac{82}{2} = 41
$$
2. $$
y = \frac{50 - 32}{2} = \frac{18}{2} = 9
$$

**Paso 6: Verificar las soluciones en la ecuación original**

- **Para $$ y = 41 $$:**

$$
15 - 2\sqrt{3(41) - 2} = 15 - 2\sqrt{123 - 2} = 15 - 2\sqrt{121} = 15 - 22 = -7
$$
$$
y - 4 = 41 - 4 = 37
$$
$$
-7 \neq 37 \quad \text{(No es válida)}
$$

- **Para $$ y = 9 $$:**

$$
15 - 2\sqrt{3(9) - 2} = 15 - 2\sqrt{27 - 2} = 15 - 2\sqrt{25} = 15 - 10 = 5
$$
$$
y - 4 = 9 - 4 = 5
$$
$$
5 = 5 \quad \text{(Válida)}
$$

**Conclusión:**

La única solución válida para la ecuación es:

$$
y = 9
$$
La solución es $$ y = 9 $$.

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