Demuestra que $$ an(60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - an(15^{\circ})}{1 + \sqrt{3}\cdot an(15^{\circ})} $$

Question

Demuestra que $$ 	an(60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 	an(15^{\circ})}{1 + \sqrt{3}\cdot	an(15^{\circ})} $$

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Para demostrar que

$$
\tan(60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - \tan(15^{\circ})}{1 + \sqrt{3} \cdot \tan(15^{\circ})},
$$

utilizaremos la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos. A continuación, se detallan los pasos de la demostración:

### 1. Fórmula de la Tangente de la Diferencia

La fórmula para la tangente de la diferencia entre dos ángulos $$ A $$ y $$ B $$ es:

$$
\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}
$$

### 2. Aplicación de la Fórmula con $$ A = 60^{\circ} $$ y $$ B = 15^{\circ} $$

Sustituyendo $$ A = 60^{\circ} $$ y $$ B = 15^{\circ} $$ en la fórmula obtenemos:

$$
\tan(60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{\tan 60^{\circ} - \tan 15^{\circ}}{1 + \tan 60^{\circ} \cdot \tan 15^{\circ}}
$$

### 3. Conocemos los Valores de $$\tan 60^{\circ}$$

Sabemos que:

$$
\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}
$$

### 4. Sustitución en la Fórmula

Reemplazando $$\tan 60^{\circ}$$ por $$\sqrt{3}$$, la expresión queda:

$$
\tan(60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - \tan 15^{\circ}}{1 + \sqrt{3} \cdot \tan 15^{\circ}}
$$

### 5. Conclusión

Hemos demostrado que:

$$
\tan(60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - \tan 15^{\circ}}{1 + \sqrt{3} \cdot \tan 15^{\circ}}
$$

Esto confirma la igualdad propuesta utilizando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos.
$$ \tan(60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - \tan(15^{\circ})}{1 + \sqrt{3} \cdot \tan(15^{\circ})} $$

Demuestra que

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