Demuestra que \( \tan(60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - \tan(15^{\circ})}{1 + \sqrt{3}\cdot\tan(15^{\circ})} \)

Para demostrar que \[ \tan(60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - \tan(15^{\circ})}{1 + \sqrt{3} \cdot \tan(15^{\circ})}, \] utilizaremos la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos. A continuación, se detallan los pasos de la demostración: ### 1. Fórmula de la Tangente de la Diferencia La fórmula para la tangente de la diferencia entre dos ángulos \( A \) y \( B \) es: \[ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} \] ### 2. Aplicación de la Fórmula con \( A = 60^{\circ} \) y \( B = 15^{\circ} \) Sustituyendo \( A = 60^{\circ} \) y \( B = 15^{\circ} \) en la fórmula obtenemos: \[ \tan(60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{\tan 60^{\circ} - \tan 15^{\circ}}{1 + \tan 60^{\circ} \cdot \tan 15^{\circ}} \] ### 3. Conocemos los Valores de \(\tan 60^{\circ}\) Sabemos que: \[ \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \] ### 4. Sustitución en la Fórmula Reemplazando \(\tan 60^{\circ}\) por \(\sqrt{3}\), la expresión queda: \[ \tan(60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - \tan 15^{\circ}}{1 + \sqrt{3} \cdot \tan 15^{\circ}} \] ### 5. Conclusión Hemos demostrado que: \[ \tan(60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - \tan 15^{\circ}}{1 + \sqrt{3} \cdot \tan 15^{\circ}} \] Esto confirma la igualdad propuesta utilizando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos.