NOTA: tenga en cuenta que la ecuación canónica de la hipérbola con eje focal horizontal centrada en $$ C(h, k) $$ está dada por la expresión $$ \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 $$, donde $$ a $$ y $$ b $$ son los semiejes horizontal(transverso) y vertical (conjugado) respectivamente. Adicionalmente, la relación que hay entre estos semiejes y la distancia $$ c $$ (distancia entre el centro de la hipérbola y su foco) $$ c^{2}=a^{2}+b^{2} $$ O. $$ \frac{(z-4)^{2}}{9}-\frac{(y+5)^{2}}{16}-1 $$ O. $$ \frac{(z-4)^{2}}{16}-\frac{(y+5)^{2}}{9}=1 $$ C. $$ \frac{(z+4)^{2}}{9}-\frac{(y-5)^{2}}{16}=1 $$ O d. $$ \frac{(z+4)^{2}}{16}-\frac{(y-5)^{2}}{9}=1 $$

Question

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Para identificar cuál de las ecuaciones dadas representa una hipérbola con eje focal horizontal, primero debemos recordar que la forma canónica de la hipérbola con eje focal horizontal es:

$$
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1
$$

En este caso, las variables $$x$$ y $$y$$ son las que se utilizan en la ecuación canónica. Sin embargo, en las opciones que has proporcionado, se utilizan las variables $$z$$ y $$y$$. Esto sugiere que estamos tratando con una hipérbola en un espacio tridimensional, donde $$z$$ podría ser la variable que representa el eje transverso.

Para que la hipérbola tenga un eje focal horizontal en el espacio tridimensional, la forma general sería:

$$
\frac{(z-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1
$$

Ahora, analicemos las opciones:

1. **O.** $$ \frac{(z-4)^{2}}{9}-\frac{(y+5)^{2}}{16}-1 $$  
   Esta ecuación no está en la forma canónica, ya que hay un término $$-1$$ que no debería estar.

2. **O.** $$ \frac{(z-4)^{2}}{16}-\frac{(y+5)^{2}}{9}=1 $$  
   Esta ecuación está en la forma canónica de la hipérbola con eje focal horizontal. Aquí, $$h = 4$$, $$k = -5$$, $$a^2 = 16$$ (por lo tanto, $$a = 4$$) y $$b^2 = 9$$ (por lo tanto, $$b = 3$$).

3. **C.** $$ \frac{(z+4)^{2}}{9}-\frac{(y-5)^{2}}{16}=1 $$  
   Esta ecuación también está en la forma canónica, pero el eje transverso está en la dirección $$z$$, lo que no corresponde a una hipérbola con eje focal horizontal.

4. **O d.** $$ \frac{(z+4)^{2}}{16}-\frac{(y-5)^{2}}{9}=1 $$  
   Similar a la opción anterior, esta ecuación tiene el eje transverso en la dirección $$z$$.

Por lo tanto, la única opción que representa una hipérbola con eje focal horizontal es:

**O.** $$ \frac{(z-4)^{2}}{16}-\frac{(y+5)^{2}}{9}=1 $$
La opción correcta es **O.** $$ \frac{(z-4)^{2}}{16}-\frac{(y+5)^{2}}{9}=1 $$.

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