4) $$ \operatorname{Si} an \Phi=\frac{\sqrt{6}}{3} $$, donde " $$ \Phi $$ " es un ángulo agudo, calcular: $$ P=\sqrt{3} \operatorname{Sec} \Phi+\sqrt{2} \operatorname{Csc} \Phi $$

Question

4) $$ \operatorname{Si} 	an \Phi=\frac{\sqrt{6}}{3} $$, donde " $$ \Phi $$ " es un ángulo agudo, calcular: $$ P=\sqrt{3} \operatorname{Sec} \Phi+\sqrt{2} \operatorname{Csc} \Phi $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el problema, comenzamos con la ecuación dada:

$$
\operatorname{Si} \tan \Phi = \frac{\sqrt{6}}{3}
$$

Sabemos que:

$$
\operatorname{Si} \tan \Phi = \frac{\sin \Phi}{\cos \Phi}
$$

Por lo tanto, podemos escribir:

$$
\frac{\sin \Phi}{\cos \Phi} = \frac{\sqrt{6}}{3}
$$

De aquí, podemos expresar $$\sin \Phi$$ en términos de $$\cos \Phi$$:

$$
\sin \Phi = \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \Phi
$$

Ahora, utilizamos la identidad fundamental $$\sin^2 \Phi + \cos^2 \Phi = 1$$:

Sustituyendo $$\sin \Phi$$:

$$
\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \cos \Phi\right)^2 + \cos^2 \Phi = 1
$$

Esto se convierte en:

$$
\frac{6}{9} \cos^2 \Phi + \cos^2 \Phi = 1
$$

Simplificando:

$$
\frac{6}{9} \cos^2 \Phi + \frac{9}{9} \cos^2 \Phi = 1
$$

$$
\frac{15}{9} \cos^2 \Phi = 1
$$

Multiplicando ambos lados por $$\frac{9}{15}$$:

$$
\cos^2 \Phi = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}
$$

Por lo tanto, tomando la raíz cuadrada:

$$
\cos \Phi = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}
$$

Ahora, usando $$\sin \Phi = \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \Phi$$:

$$
\sin \Phi = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{\sqrt{90}}{15} = \frac{3\sqrt{10}}{15} = \frac{\sqrt{10}}{5}
$$

Ahora que tenemos $$\sin \Phi$$ y $$\cos \Phi$$, podemos calcular $$P$$:

$$
P = \sqrt{3} \operatorname{Sec} \Phi + \sqrt{2} \operatorname{Csc} \Phi
$$

Recordemos que:

$$
\operatorname{Sec} \Phi = \frac{1}{\cos \Phi} \quad \text{y} \quad \operatorname{Csc} \Phi = \frac{1}{\sin \Phi}
$$

Por lo tanto:

$$
\operatorname{Sec} \Phi = \frac{1}{\frac{\sqrt{15}}{5}} = \frac{5}{\sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{3}
$$

$$
\operatorname{Csc} \Phi = \frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{5}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}
$$

Sustituyendo en $$P$$:

$$
P = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{3} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{2}
$$

Simplificando:

$$
P = \frac{\sqrt{45}}{3} + \frac{\sqrt{20}}{2}
$$

$$
P = \frac{3\sqrt{5}}{3} + \frac{2\sqrt{5}}{2}
$$

$$
P = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}
$$

Por lo tanto, el valor de $$P$$ es:

$$
\boxed{2\sqrt{5}}
$$
El valor de $$P$$ es $$2\sqrt{5}$$.

, donde " " es un ángulo agudo, calcular:

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Trigonometry Questions