4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 por el método que se te indica. $$ \begin{array}{lll} ext { Sustitución } & ext { Igualación } & ext { Reducción (Eliminación) } \ 7 x-3 y=18 & 2 x-6 y=24 & 2 x-y=5 \ 3 x+y=22 & 4 x-y=19 & x+2 y=-6\end{array} $$

Question

4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 por el método que se te indica. $$ \begin{array}{lll}	ext { Sustitución } & 	ext { Igualación } & 	ext { Reducción (Eliminación) } \ 7 x-3 y=18 & 2 x-6 y=24 & 2 x-y=5 \ 3 x+y=22 & 4 x-y=19 & x+2 y=-6\end{array} $$

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Claro, resolveremos cada sistema de ecuaciones utilizando el método indicado.

---

### **1. Método de Sustitución**

**Sistema:**
$$
\begin{cases}
7x - 3y = 18 \
3x + y = 22
\end{cases}
$$

**Paso 1:** Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones. Despejemos $$ y $$ de la segunda ecuión:
$$
3x + y = 22 \
\Rightarrow y = 22 - 3x
$$

**Paso 2:** Sustituimos $$ y $$ en la primera ecuación:
$$
7x - 3(22 - 3x) = 18 \
7x - 66 + 9x = 18 \
16x - 66 = 18 \
16x = 18 + 66 \
16x = 84 \
x = \frac{84}{16} \
x = \frac{21}{4} = 5.25
$$

**Paso 3:** Sustituimos $$ x $$ de regreso para encontrar $$ y $$:
$$
y = 22 - 3 \left( \frac{21}{4} \right) \
y = 22 - \frac{63}{4} \
y = \frac{88}{4} - \frac{63}{4} \
y = \frac{25}{4} = 6.25
$$

**Solución:**
$$
x = \frac{21}{4} \quad \text{y} \quad y = \frac{25}{4}
$$

---

### **2. Método de Igualación**

**Sistema:**
$$
\begin{cases}
2x - 6y = 24 \
4x - y = 19
\end{cases}
$$

**Paso 1:** Despejamos la misma variable en ambas ecuaciones. Despejemos $$ y $$:

De la primera ecuación:
$$
2x - 6y = 24 \
-6y = -2x + 24 \
y = \frac{2x - 24}{6} \
y = \frac{x}{3} - 4
$$

De la segunda ecuación:
$$
4x - y = 19 \
-y = -4x + 19 \
y = 4x - 19
$$

**Paso 2:** Igualamos las dos expresiones para $$ y $$:
$$
\frac{x}{3} - 4 = 4x - 19
$$

**Paso 3:** Resolvemos para $$ x $$:
$$
\frac{x}{3} - 4x = -19 + 4 \
\frac{x - 12x}{3} = -15 \
\frac{-11x}{3} = -15 \
-11x = -45 \
x = \frac{45}{11}
$$

**Paso 4:** Sustituimos $$ x $$ para encontrar $$ y $$:
$$
y = 4 \left( \frac{45}{11} \right) - 19 \
y = \frac{180}{11} - \frac{209}{11} \
y = \frac{-29}{11}
$$

**Solución:**
$$
x = \frac{45}{11} \quad \text{y} \quad y = \frac{-29}{11}
$$

---

### **3. Método de Reducción (Eliminación)**

**Sistema:**
$$
\begin{cases}
2x - y = 5 \
x + 2y = -6
\end{cases}
$$

**Paso 1:** Igualamos los coeficientes de una de las variables para eliminarlas. Vamos a eliminar $$ y $$. Multiplicamos la primera ecuación por 2:
$$
2(2x - y) = 2(5) \
4x - 2y = 10
$$

Ahora tenemos:
$$
\begin{cases}
4x - 2y = 10 \
x + 2y = -6
\end{cases}
$$

**Paso 2:** Sumamos las dos ecuaciones para eliminar $$ y $$:
$$
(4x - 2y) + (x + 2y) = 10 + (-6) \
5x = 4 \
x = \frac{4}{5}
$$

**Paso 3:** Sustituimos $$ x $$ en una de las ecuaciones originales para encontrar $$ y $$. Usamos la segunda ecuación:
$$
\frac{4}{5} + 2y = -6 \
2y = -6 - \frac{4}{5} \
2y = -\frac{30}{5} - \frac{4}{5} \
2y = -\frac{34}{5} \
y = -\frac{17}{5}
$$

**Solución:**
$$
x = \frac{4}{5} \quad \text{y} \quad y = -\frac{17}{5}
$$

---

Cada sistema ha sido resuelto utilizando el método indicado, obteniendo las soluciones correspondientes para $$ x $$ y $$ y $$.
Se resolvieron tres sistemas de ecuaciones lineales utilizando los métodos de sustitución, igualación y reducción (eliminación). Las soluciones son: 1. **Sustitución**: $$ x = \frac{21}{4}, \quad y = \frac{25}{4} $$ 2. **Igualación**: $$ x = \frac{45}{11}, \quad y = \frac{-29}{11} $$ 3. **Reducción (Eliminación)**: $$ x = \frac{4}{5}, \quad y = -\frac{17}{5} $$ Cada método proporciona las soluciones para $$ x $$ y $$ y $$ en los respectivos sistemas.

4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 por el método que se te indica. \( \begin{array}{lll}\text { Sustitución } & \text { Igualación } & \text { Reducción (Eliminación) } \\ 7 x-3 y=18 & 2 x-6 y=24 & 2 x-y=5 \\ 3 x+y=22 & 4 x-y=19 & x+2 y=-6\end{array} \)

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