Resolver la Destgraldad $$ \frac{(4-x)(2 x+3)}{(7-x)} \leq 1 $$

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Para resolver la desigualdad:

$$
\frac{(4 - x)(2x + 3)}{7 - x} \leq 1
$$

seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Traer todos los términos al mismo lado de la desigualdad

Restamos 1 de ambos lados para obtener una única expresión:

$$
\frac{(4 - x)(2x + 3)}{7 - x} - 1 \leq 0
$$

### Paso 2: Simplificar la expresión

Para combinar los términos en una sola fracción, tenemos:

$$
\frac{(4 - x)(2x + 3) - (7 - x)}{7 - x} \leq 0
$$

Expandimos el numerador:

$$
(4 - x)(2x + 3) = 8x + 12 - 2x^2 - 3x = -2x^2 + 5x + 12
$$

Entonces:

$$
\frac{-2x^2 + 5x + 12 - (7 - x)}{7 - x} \leq 0 \
\frac{-2x^2 + 6x + 5}{7 - x} \leq 0
$$

### Paso 3: Encontrar los puntos críticos

Los puntos críticos ocurren cuando el numerador es cero o el denominador es cero.

1. **Numerador igual a cero:**

$$
-2x^2 + 6x + 5 = 0 \
2x^2 - 6x - 5 = 0 \
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{76}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{19}}{2}
$$

Entonces, los valores son:

$$
x_1 = \frac{3 - \sqrt{19}}{2} \approx -0.679 \
x_2 = \frac{3 + \sqrt{19}}{2} \approx 3.679
$$

2. **Denominador igual a cero:**

$$
7 - x = 0 \
x = 7
$$

### Paso 4: Determinar los intervalos y analizar los signos

Dividimos la recta numérica en intervalos basados en los puntos críticos: $$ x_1 $$, $$ x_2 $$ y $$ 7 $$.

1. **Intervalo 1:** $$ x < \frac{3 - \sqrt{19}}{2} $$

- **Numerador:** Negativo
   - **Denominador:** Positivo
   - **Resultado:** Negativo

2. **Intervalo 2:** $$ \frac{3 - \sqrt{19}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{19}}{2} $$

- **Numerador:** Positivo
   - **Denominador:** Positivo
   - **Resultado:** Positivo

3. **Intervalo 3:** $$ \frac{3 + \sqrt{19}}{2} < x < 7 $$

- **Numerador:** Negativo
   - **Denominador:** Positivo
   - **Resultado:** Negativo

4. **Intervalo 4:** $$ x > 7 $$

- **Numerador:** Negativo
   - **Denominador:** Negativo
   - **Resultado:** Positivo

### Paso 5: Determinar dónde la expresión es menor o igual a cero

La desigualdad se cumple cuando la fracción es menor o igual a cero, es decir, en los intervalos donde el resultado es negativo o cuando el numerador es cero.

- **Intervalo 1:** $$ x \leq \frac{3 - \sqrt{19}}{2} $$
- **Intervalo 3:** $$ \frac{3 + \sqrt{19}}{2} \leq x < 7 $$

**Nota:** $$ x = 7 $$ no está incluido ya que la expresión se vuelve indefinida en ese punto.

### Paso 6: Expresar la solución final

La solución de la desigualdad es:

$$
x \leq \frac{3 - \sqrt{19}}{2} \quad \text{o} \quad \frac{3 + \sqrt{19}}{2} \leq x < 7
$$

En notación de intervalos, esto se escribe como:

$$
(-\infty, \frac{3 - \sqrt{19}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{19}}{2}, 7)
$$

### Resumen

La solución de la desigualdad $$\frac{(4 - x)(2x + 3)}{7 - x} \leq 1$$ es:

$$
x \leq \frac{3 - \sqrt{19}}{2} \quad \text{o} \quad \frac{3 + \sqrt{19}}{2} \leq x < 7
$$

En forma de intervalo:

$$
(-\infty, \frac{3 - \sqrt{19}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{19}}{2}, 7)
$$
La solución de la desigualdad $$\frac{(4 - x)(2x + 3)}{7 - x} \leq 1$$ es: $$ x \leq \frac{3 - \sqrt{19}}{2} \quad \text{ó} \quad \frac{3 + \sqrt{19}}{2} \leq x < 7 $$ En forma de intervalo: $$ (-\infty, \frac{3 - \sqrt{19}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{19}}{2}, 7) $$

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