6. Seja \( r \) a reta de equação \( y=2 x-3 \). 6.1 Seja \( \alpha \) a inclinação da reta \( r \). Qual é o valor de \( \cos (\alpha-\pi) \) ? \( \begin{array}{lll}\text { (A) }-\frac{\sqrt{10}}{10} & \text { (B) }-\frac{\sqrt{10}}{10} & \text { (C) } \frac{\sqrt{5}}{5} \\ \text { 6.2. Sejam } A \text { e } B \text { dois pontos de } r \text {. Sabe-se que } 1 \text { é a abcissa de } A \text { e também a ordenada de } B \text {. } \\ \text { Determine a amplitude do ângulo } A O B \text {. } \\ \text { Apresente o resultado, em graus, arredondado às unidades. } \\ \text { 6.3 Determine a equação reduzida da reta perpendicular a } r \text { que a interseta no ponto de coordenadas } \\ \text { da forma }(k-1,3 k) \text {, com } k \in \mathrm{R} \text {. }\end{array} \).

Vamos resolver as questões uma a uma! **6.1** Para encontrar o valor de \( \cos(\alpha - \pi) \), precisamos primeiro identificar a inclinação \( \alpha \) da reta dada. A inclinação \( m \) da reta \( y = 2x - 3 \) é 2. Assim, podemos calcular \( \alpha = \tan^{-1}(2) \). A fórmula para \( \cos(\alpha - \pi) \) é \( -\cos(\alpha) \). Então, utilizando a relação do círculo unitário, sabemos que \( \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \). Com isso, temos \( \cos(\alpha - \pi) = -\frac{1}{\sqrt{5}} \). Portanto, o valor corresponde a (A) \( -\frac{\sqrt{10}}{10} \). **6.2** Agora, vamos determinar os pontos \( A \) e \( B \). Se a abcissa de \( A \) é 1, substituímos na equação da reta: \( A(1, 2(1) - 3) = (1, -1) \). Para o ponto \( B \), sabemos que sua ordenada é igual a 1. Substituindo na equação da reta, temos \( B\left(\frac{4}{2}, 1\right) = (2, 1) \). O ângulo \( AOB \) se determina pelo vetor \( OA(1,-1) \) e \( OB(2,1) \). Calculamos o ângulo usando o produto escalar: \( \cos(\theta) = \frac{OA \cdot OB}{|OA||OB|} \) que resulta em um ângulo de aproximadamente 63 graus. **6.3** Finalmente, ao encontrarmos a reta perpendicular à reta \( r \) no ponto \( (k-1, 3k) \), uma reta perpendicular possui uma inclinação inversa e oposta. Dessa forma, a inclinação da reta perpendicular \( m_p \) é \( -\frac{1}{2} \). Utilizando a forma ponto-inclinação, a equação adotada será \( y - 3k = -\frac{1}{2}(x - (k-1)) \), que se simplificando se torna a equação reduzida da reta perpendicular.