6. Seja \( r \) a reta de equação \( y=2 x-3 \). 6.1 Seja \( \alpha \) a inclinação da reta \( r \). Qual é o valor de \( \cos (\alpha-\pi) \) ? \( \begin{array}{lll}\text { (A) }-\frac{\sqrt{10}}{10} & \text { (B) }-\frac{\sqrt{10}}{10} & \text { (C) } \frac{\sqrt{5}}{5} \\ \text { 6.2. Sejam } A \text { e } B \text { dois pontos de } r \text {. Sabe-se que } 1 \text { é a abcissa de } A \text { e também a ordenada de } B \text {. } \\ \text { Determine a amplitude do ângulo } A O B \text {. } \\ \text { Apresente o resultado, em graus, arredondado às unidades. } \\ \text { 6.3 Determine a equação reduzida da reta perpendicular a } r \text { que a interseta no ponto de coordenadas } \\ \text { da forma }(k-1,3 k) \text {, com } k \in \mathrm{R} \text {. }\end{array} \).

Vamos resolver cada parte do problema passo a passo: ### **6.1. Determinar \( \cos (\alpha - \pi) \)** Dada a reta \( r \) com equação \( y = 2x - 3 \), o coeficiente angular \( m = 2 \). A inclinação \( \alpha \) da reta é tal que \( \tan(\alpha) = m = 2 \). Para encontrar \( \cos(\alpha) \), utilizamos a relação: \[ \cos(\alpha) = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \] Agora, calculamos \( \cos(\alpha - \pi) \) usando a identidade trigonométrica: \[ \cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{5}}{5} \] **Resposta:** \( \cos(\alpha - \pi) = -\dfrac{\sqrt{5}}{5} \) --- ### **6.2. Determinar a amplitude do ângulo \( AOB \)** **Passos:** 1. **Encontrar as coordenadas dos pontos A e B:** - **Ponto A:** Sabendo que a abcissa de \( A \) é 1, temos: \[ A = (1, 2 \cdot 1 - 3) = (1, -1) \] - **Ponto B:** Sabendo que a ordenada de \( B \) é 1, resolvemos para \( x \) na equação da reta: \[ 1 = 2x - 3 \implies x = 2 \implies B = (2, 1) \] 2. **Calcular os vetores \( \vec{OA} \) e \( \vec{OB} \):** \[ \vec{OA} = (1, -1), \quad \vec{OB} = (2, 1) \] 3. **Utilizar a fórmula do ângulo entre vetores:** \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{||\vec{OA}|| \cdot ||\vec{OB}||} \] Calculando: \[ \vec{OA} \cdot \vec{OB} = (1)(2) + (-1)(1) = 2 - 1 = 1 \] \[ ||\vec{OA}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \] \[ ||\vec{OB}|| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \] Assim: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \] Calculando o ângulo: \[ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right) \approx 71,57^\circ \approx 72^\circ \] **Resposta:** A amplitude do ângulo \( AOB \) é aproximadamente **72 graus**. --- ### **6.3. Determinar a equação reduzida da reta perpendicular a \( r \) que a interseta no ponto \( (k-1, 3k) \)** 1. **Encontrar o valor de \( k \) tal que o ponto \( (k-1, 3k) \) esteja na reta \( r \):** \[ 3k = 2(k - 1) - 3 \implies 3k = 2k - 2 - 3 \implies k = -5 \] Portanto, o ponto de interseção é \( (-6, -15) \). 2. **Determinar a inclinação da reta perpendicular:** - A inclinação da reta \( r \) é \( m = 2 \). - A inclinação da reta perpendicular é \( m_{\perp} = -\frac{1}{2} \). 3. **Utilizar a forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta perpendicular:** \[ y - y_0 = m_{\perp}(x - x_0) \] Com \( (x_0, y_0) = (-6, -15) \): \[ y + 15 = -\frac{1}{2}(x + 6) \] Simplificando: \[ y = -\frac{1}{2}x - 3 - 15 \implies y = -\frac{1}{2}x - 18 \] **Resposta:** A equação reduzida da reta é \( y = -\dfrac{1}{2}x - 18 \).