6. Seja $$ r $$ a reta de equação $$ y=2 x-3 $$. 6.1 Seja $$ \alpha $$ a inclinação da reta $$ r $$. Qual é o valor de $$ \cos (\alpha-\pi) $$ ? $$ \begin{array}{lll} ext { (A) }-\frac{\sqrt{10}}{10} & ext { (B) }-\frac{\sqrt{10}}{10} & ext { (C) } \frac{\sqrt{5}}{5} \ ext { 6.2. Sejam } A ext { e } B ext { dois pontos de } r ext {. Sabe-se que } 1 ext { é a abcissa de } A ext { e também a ordenada de } B ext {. } \ ext { Determine a amplitude do ângulo } A O B ext {. } \ ext { Apresente o resultado, em graus, arredondado às unidades. } \ ext { 6.3 Determine a equação reduzida da reta perpendicular a } r ext { que a interseta no ponto de coordenadas } \ ext { da forma }(k-1,3 k) ext {, com } k \in \mathrm{R} ext {. }\end{array} $$.

Question

6. Seja $$ r $$ a reta de equação $$ y=2 x-3 $$. 6.1 Seja $$ \alpha $$ a inclinação da reta $$ r $$. Qual é o valor de $$ \cos (\alpha-\pi) $$ ? $$ \begin{array}{lll}	ext { (A) }-\frac{\sqrt{10}}{10} & 	ext { (B) }-\frac{\sqrt{10}}{10} & 	ext { (C) } \frac{\sqrt{5}}{5} \ 	ext { 6.2. Sejam } A 	ext { e } B 	ext { dois pontos de } r 	ext {. Sabe-se que } 1 	ext { é a abcissa de } A 	ext { e também a ordenada de } B 	ext {. } \ 	ext { Determine a amplitude do ângulo } A O B 	ext {. } \ 	ext { Apresente o resultado, em graus, arredondado às unidades. } \ 	ext { 6.3 Determine a equação reduzida da reta perpendicular a } r 	ext { que a interseta no ponto de coordenadas } \ 	ext { da forma }(k-1,3 k) 	ext {, com } k \in \mathrm{R} 	ext {. }\end{array} $$.

UpStudy AI · Accepted Answer

Vamos resolver cada parte do problema passo a passo:

### **6.1. Determinar $$ \cos (\alpha - \pi) $$**

Dada a reta $$ r $$ com equação $$ y = 2x - 3 $$, o coeficiente angular $$ m = 2 $$. A inclinação $$ \alpha $$ da reta é tal que $$ \tan(\alpha) = m = 2 $$.

Para encontrar $$ \cos(\alpha) $$, utilizamos a relação:
$$
\cos(\alpha) = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}
$$

Agora, calculamos $$ \cos(\alpha - \pi) $$ usando a identidade trigonométrica:
$$
\cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{5}}{5}
$$

**Resposta:** $$ \cos(\alpha - \pi) = -\dfrac{\sqrt{5}}{5} $$

---

### **6.2. Determinar a amplitude do ângulo $$ AOB $$**

**Passos:**

1. **Encontrar as coordenadas dos pontos A e B:**
   - **Ponto A:** Sabendo que a abcissa de $$ A $$ é 1, temos:
     $$
     A = (1, 2 \cdot 1 - 3) = (1, -1)
     $$
   - **Ponto B:** Sabendo que a ordenada de $$ B $$ é 1, resolvemos para $$ x $$ na equação da reta:
     $$
     1 = 2x - 3 \implies x = 2 \implies B = (2, 1)
     $$

2. **Calcular os vetores $$ \vec{OA} $$ e $$ \vec{OB} $$:**
   $$
   \vec{OA} = (1, -1), \quad \vec{OB} = (2, 1)
   $$

3. **Utilizar a fórmula do ângulo entre vetores:**
   $$
   \cos(\theta) = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{||\vec{OA}|| \cdot ||\vec{OB}||}
   $$
   Calculando:
   $$
   \vec{OA} \cdot \vec{OB} = (1)(2) + (-1)(1) = 2 - 1 = 1
   $$
   $$
   ||\vec{OA}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
   $$
   $$
   ||\vec{OB}|| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}
   $$
   Assim:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}
   $$
   Calculando o ângulo:
   $$
   \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right) \approx 71,57^\circ \approx 72^\circ
   $$

**Resposta:** A amplitude do ângulo $$ AOB $$ é aproximadamente **72 graus**.

---

### **6.3. Determinar a equação reduzida da reta perpendicular a $$ r $$ que a interseta no ponto $$ (k-1, 3k) $$**

1. **Encontrar o valor de $$ k $$ tal que o ponto $$ (k-1, 3k) $$ esteja na reta $$ r $$:**
   $$
   3k = 2(k - 1) - 3 \implies 3k = 2k - 2 - 3 \implies k = -5
   $$
   Portanto, o ponto de interseção é $$ (-6, -15) $$.

2. **Determinar a inclinação da reta perpendicular:**
   - A inclinação da reta $$ r $$ é $$ m = 2 $$.
   - A inclinação da reta perpendicular é $$ m_{\perp} = -\frac{1}{2} $$.

3. **Utilizar a forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta perpendicular:**
   $$
   y - y_0 = m_{\perp}(x - x_0)
   $$
   Com $$ (x_0, y_0) = (-6, -15) $$:
   $$
   y + 15 = -\frac{1}{2}(x + 6)
   $$
   Simplificando:
   $$
   y = -\frac{1}{2}x - 3 - 15 \implies y = -\frac{1}{2}x - 18
   $$

**Resposta:** A equação reduzida da reta é $$ y = -\dfrac{1}{2}x - 18 $$.
**Respostas:** 1. $$ \cos(\alpha - \pi) = -\dfrac{\sqrt{5}}{5} $$ 2. A amplitude do ângulo $$ AOB $$ é **72 graus**. 3. A equação da reta perpendicular é $$ y = -\dfrac{1}{2}x - 18 $$.

Seja a reta de equação .
6.1 Seja a inclinação da reta . Qual é o valor de ?
$é é â à ç ã$ .

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Seja a reta de equação . 6.1 Seja a inclinação da reta . Qual é o valor de ? ééâàçã.