Let $$ f(x)=6 x+2 $$ and $$ g(x)=3 x-5 $$. Write a formula for each of the following functions and then simplify. a. $$ f+g=\square $$ b. $$ f-g=\square $$ c. $$ g-f=\square $$ d. $$ g+f=\square $$ e. $$ f g=\square $$ $$ f . f f=\square $$

Question

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为了求解这个问题，我们需要分别计算和简化每个函数。我们有两个函数 $$ f(x) = 6x + 2 $$ 和 $$ g(x) = 3x - 5 $$。

### a. $$ f + g $$
首先，我们计算 $$ f + g $$：
$$ f(x) + g(x) = (6x + 2) + (3x - 5) $$
将同类项合并：
$$ = 6x + 3x + 2 - 5 $$
$$ = 9x - 3 $$

所以，$$ f + g = 9x - 3 $$。

### b. $$ f - g $$
接下来，我们计算 $$ f - g $$：
$$ f(x) - g(x) = (6x + 2) - (3x - 5) $$
分配负号：
$$ = 6x + 2 - 3x + 5 $$
将同类项合并：
$$ = 6x - 3x + 2 + 5 $$
$$ = 3x + 7 $$

所以，$$ f - g = 3x + 7 $$。

### c. $$ g - f $$
然后，我们计算 $$ g - f $$：
$$ g(x) - f(x) = (3x - 5) - (6x + 2) $$
分配负号：
$$ = 3x - 5 - 6x - 2 $$
将同类项合并：
$$ = 3x - 6x - 5 - 2 $$
$$ = -3x - 7 $$

所以，$$ g - f = -3x - 7 $$。

### d. $$ g + f $$
由于加法是交换律的，所以 $$ g + f $$ 和 $$ f + g $$ 是相同的：
$$ g(x) + f(x) = (3x - 5) + (6x + 2) $$
将同类项合并：
$$ = 3x + 6x - 5 + 2 $$
$$ = 9x - 3 $$

所以，$$ g + f = 9x - 3 $$。

### e. $$ f \cdot g $$
接下来，我们计算 $$ f \cdot g $$：
$$ f(x) \cdot g(x) = (6x + 2) \cdot (3x - 5) $$
使用分配律展开：
$$ = 6x \cdot 3x + 6x \cdot (-5) + 2 \cdot 3x + 2 \cdot (-5) $$
$$ = 18x^2 - 30x + 6x - 10 $$
将同类项合并：
$$ = 18x^2 - 24x - 10 $$

所以，$$ f \cdot g = 18x^2 - 24x - 10 $$。

### f. $$ f \cdot f \cdot f $$
最后，我们计算 $$ f \cdot f \cdot f $$：
$$ f(x) \cdot f(x) \cdot f(x) = (6x + 2) \cdot (6x + 2) \cdot (6x + 2) $$
首先计算 $$ f(x) \cdot f(x) $$：
$$ (6x + 2) \cdot (6x + 2) = 36x^2 + 12x + 12x + 4 $$
$$ = 36x^2 + 24x + 4 $$

然后，将结果与 $$ f(x) $$ 相乘：
$$ (36x^2 + 24x + 4) \cdot (6x + 2) $$
使用分配律展开：
$$ = 36x^2 \cdot 6x + 36x^2 \cdot 2 + 24x \cdot 6x + 24x \cdot 2 + 4 \cdot 6x + 4 \cdot 2 $$
$$ = 216x^3 + 72x^2 + 144x^2 + 48x + 24x + 8 $$
将同类项合并：
$$ = 216x^3 + 216x^2 + 72x + 8 $$

所以，$$ f \cdot f \cdot f = 216x^3 + 216x^2 + 72x + 8 $$。
a. $$ f + g = 9x - 3 $$ b. $$ f - g = 3x + 7 $$ c. $$ g - f = -3x - 7 $$ d. $$ g + f = 9x - 3 $$ e. $$ f \cdot g = 18x^2 - 24x - 10 $$ f. $$ f \cdot f \cdot f = 216x^3 + 216x^2 + 72x + 8 $$

Let \( f(x)=6 x+2 \) and \( g(x)=3 x-5 \). Write a formula for each of the following functions and then simplify. a. \( f+g=\square \) b. \( f-g=\square \) c. \( g-f=\square \) d. \( g+f=\square \) e. \( f g=\square \) \( f . f f=\square \)

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