Partie B
Soit f la fonction définie par:
© est la représentation graphique dans le repère orthonormé (unités: 2 cm )

a) Montrer que fest continue en 0 .
b) Etudier la dérivabilité de fen 0 .

a) Calculer et
b) Montrer que la droite ( ) d’équation est une asymptote à ©
c) Etudier les positions relatives de © et ( ).
d) Préciser l’autre asymptote à la courbe © de .

a) Montrer que pour tout ;
b) En déduire le sens de variation de f.
c) Dresser son tableau de variation

Question

Partie B
Soit f la fonction définie par:
© est la représentation graphique dans le repère orthonormé (unités: 2 cm )

a) Montrer que fest continue en 0 .
b) Etudier la dérivabilité de fen 0 .

a) Calculer et
b) Montrer que la droite ( ) d’équation est une asymptote à ©
c) Etudier les positions relatives de © et ( ).
d) Préciser l’autre asymptote à la courbe © de .

a) Montrer que pour tout ;
b) En déduire le sens de variation de f.
c) Dresser son tableau de variation

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Pour résoudre ce problème, nous allons suivre les étapes demandées. ### 1. a) Montrer que $$ f $$ est continue en 0. Pour montrer que $$ f $$ est continue en 0, nous devons vérifier que : $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) $$ Nous savons que $$ f(0) = -1 $$. Calculons maintenant la limite : $$ f(x) = x + \frac{1}{1 + \ln x} - 1 $$ Pour $$ x \to 0^+ $$, $$ \ln x \to -\infty $$, donc : $$ 1 + \ln x \to -\infty \implies \frac{1}{1 + \ln x} \to 0 $$ Ainsi, nous avons : $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + 0 - 1 = -1 $$ Donc : $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = -1 $$ Cela prouve que $$ f $$ est continue en 0. ### 1. b) Étudier la dérivabilité de $$ f $$ en 0. Pour étudier la dérivabilité de $$ f $$ en 0, nous devons calculer la limite suivante : $$ f'(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) + 1}{x} $$ Calculons $$ f(x) + 1 $$ : $$ f(x) + 1 = x + \frac{1}{1 + \ln x} $$ Donc : $$ f'(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x + \frac{1}{1 + \ln x}}{x} $$ Cela se simplifie en : $$ f'(0) = \lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x(1 + \ln x)}\right) $$ Pour $$ x \to 0^+ $$, $$ \ln x \to -\infty $$ et donc $$ 1 + \ln x \to -\infty $$. Par conséquent, $$ x(1 + \ln x) \to 0 $$ et $$ \frac{1}{x(1 + \ln x)} \to 0 $$. Ainsi : $$ f'(0) = 1 + 0 = 1 $$ Donc, $$ f $$ est dérivable en 0 et $$ f'(0) = 1 $$. ### 2. a) Calculer les limites. Calculons maintenant les limites demandées : 1. $$ \lim_{x \to \frac{1}{e}^+} f(x) $$ : $$ f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} + \frac{1}{1 + \ln\left(\frac{1}{e}\right)} - 1 = \frac{1}{e} + \frac{1}{1 - 1} - 1 $$ La limite n'existe pas car nous avons une division par zéro. 2. $$ \lim_{x \to \frac{1}{e}^-} f(x) $$ : $$ f\left(\frac{1}{e}\right) = \text{similaire, la limite n'existe pas.} $$ 3. $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) $$ : $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty + 0 - 1 = +\infty $$ ### 2. b) Montrer que la droite $$ \Delta $$ d'équation $$ y = x - 1 $$ est une asymptote à $$ (C) $$. Pour montrer que $$ y = x - 1 $$ est une asymptote, nous devons vérifier : $$ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - (x - 1)) = 0 $$ Calculons : $$ f(x) - (x - 1) = \frac{1}{1 + \ln x} $$ Ainsi : $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 + \ln x} = 0 $$ Donc, $$ y = x - 1 $$ est bien une asymptote. ### 2. c) Étudier les positions relatives de $$ (C) $$ et $$ \Delta $$. Pour $$ x \to +\infty $$, $$ f(x) $$ croît plus lentement que $$ x $$, donc $$ f(x) < x - 1 $$ pour $$ x $$ suffisamment grand. Ainsi, $$ (C) $$ est en dessous de $$ \Delta $$ pour $$ x $$ grand. ### 2. d) Préciser l'autre asymptote à la courbe $$ (C) $$ de $$ f $$. Pour $$ x \to 0^+ $$, nous avons déjà vu que $$ f(x) \to -1 $$. Donc, la droite $$ y = -1 $$ est une asymptote horizontale. ### 3. a) Montrer que pour tout $$ x \in ]0; +\infty[ \backslash \left\{\frac{1}{e}\right\} $$, $$ f'(x) = \frac{g(x)}{x(1 + \ln x)^2} $$. Calculons la dérivée de $$ f(x) $$ : $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{(1 + \ln x)^2} \cdot \frac{1}{x} $$ En simplifiant, nous avons : $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{x(1 + \ln x)^2} $$ Posons $$ g(x) = (1 + \ln x)^2 - 1 $$, alors : $$ f'(x) = \frac{g(x)}{x(1 + \ln x)^2} $$ ### 3. b) En déduire le sens de variation de $$ f $$. Pour déterminer le sens de variation, nous devons étudier le signe de $$ f'(x) $$. - Pour $$ x < \frac{1}{e} $$, $$ \ln x < 0 $$ donc $$ f'(x) > 0 $$. - Pour $$ x = \frac{1}{e} $$, $$ f'(x) $$ n'est pas défini. - Pour $$ x > \frac{1}{e} $$, $$ \ Pour résoudre ce problème, nous allons suivre les étapes demandées. 1. **Montrer que $$ f $$ est continue en 0** : - Calculons $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = -1 $$, qui est égal à $$ f(0) $$. Donc, $$ f $$ est continue en 0. 2. **Étudier la dérivabilité de $$ f $$ en 0** : - Calculons $$ f'(0) = 1 $$. Donc, $$ f $$ est dérivable en 0 et $$ f'(0) = 1 $$. 3. **Calculer les limites** : - $$ \lim_{x \to \frac{1}{e}^+} f(x) $$ et $$ \lim_{x \to \frac{1}{e}^-} f(x) $$ n'existent pas. - $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$. 4. **Montrer que $$ y = x - 1 $$ est une asymptote** : - $$ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - (x - 1)) = 0 $$, donc $$ y = x - 1 $$ est une asymptote. 5. **Étudier les positions relatives de $$ (C) $$ et $$ \Delta $$** : - Pour $$ x $$ grand, $$ f(x) < x - 1 $$, donc $$ (C) $$ est en dessous de $$ \Delta $$. 6. **Préciser l'autre asymptote** : - $$ y = -1 $$ est une asymptote horizontale. 7. **Montrer que $$ f'(x) = \frac{g(x)}{x(1 + \ln x)^2} $$** : - Calculons la dérivée et simplifions pour obtenir cette forme. 8. **En déduire le sens de variation de $$ f $$** : - $$ f'(x) > 0 $$ pour $$ x < \frac{1}{e} $$ et $$ x > \frac{1}{e} $$, donc $$ f $$ est croissante dans ces intervalles. **Tableau de variation** : - $$ f $$ est croissante sur $$ ]0, \frac{1}{e}[ $$ et $$ ]\frac{1}{e}, +\infty[ $$. - $$ f $$ atteint un minimum local en $$ x = \frac{1}{e} $$. **Conclusion** : La fonction $$ f $$ est continue et dérivable en 0, avec une dérivée positive dans les intervalles donnés. Elle a une asymptote verticale en $$ x = \frac{1}{e} $$ et une asymptote horizontale en $$ y = -1 $$. La courbe $$ (C) $$ est en dessous de la droite $$ \Delta $$ pour $$ x $$ grand, et elle est croissante dans les intervalles $$ ]0, \frac{1}{e}[ $$ et $$ ]\frac{1}{e}, +\infty[ $$.

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