10. Calcula la integral doble: \[ I=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \int_{0}^{x} \frac{y\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{3}} e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)} d y d x \]

Para calcular la integral doble: \[ I = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \int_{0}^{x} \frac{y\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{3}} e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \, dy \, dx \] seguimos los siguientes pasos: **1. Simplificación de la integral:** Primero, simplificamos la expresión dentro de la integral: \[ \frac{y\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{3}} e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)} = \frac{y}{x^{3}} \left(x^{2} + y^{2}\right) e^{x^{2} + y^{2}} \] Podemos reescribir esto como: \[ \frac{y}{x^{3}} e^{x^{2} + y^{2}} \left(x^{2} + y^{2}\right) = \frac{y}{x^{3}} \left(x^{2} + y^{2}\right) e^{x^{2} + y^{2}} \] **2. Cambio de variable:** Observamos que la expresión \(x^{2} + y^{2}\) sugiere utilizar una sustitución. Definimos: \[ z = x^{2} + y^{2} \] Entonces, derivando respecto a \(y\): \[ \frac{dz}{dy} = 2y \quad \Rightarrow \quad dy = \frac{dz}{2y} \] Sin embargo, al sustituir en la integral original, notamos que \(y\) se cancela: \[ \frac{y \left(x^{2} + y^{2}\right)}{x^{3}} e^{x^{2} + y^{2}} dy = \frac{y z}{x^{3}} e^{z} \cdot \frac{dz}{2y} = \frac{z}{2x^{3}} e^{z} dz \] **3. Evaluación de la integral interna:** La integral interna respecto a \(y\) se convierte en: \[ \int_{0}^{x} \frac{z}{2x^{3}} e^{z} dz \] Donde los límites de \(z\) cambian cuando \(y = 0\) y \(y = x\): - Cuando \(y = 0\), \(z = x^{2}\) - Cuando \(y = x\), \(z = x^{2} + x^{2} = 2x^{2}\) Entonces, la integral interna es: \[ \frac{1}{2x^{3}} \int_{x^{2}}^{2x^{2}} z e^{z} dz \] **4. Resolución de la integral respecto a \(z\):** La integral de \(z e^{z}\) respecto a \(z\) es: \[ \int z e^{z} dz = e^{z} (z - 1) + C \] Aplicando los límites: \[ \frac{1}{2x^{3}} \left[ e^{2x^{2}} (2x^{2} - 1) - e^{x^{2}} (x^{2} - 1) \right] \] **5. Integral externa respecto a \(x\):** Ahora, sustituimos esto en la integral externa: \[ I = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{2x^{3}} \left[ e^{2x^{2}} (2x^{2} - 1) - e^{x^{2}} (x^{2} - 1) \right] dx \] Esta integral puede ser complicada de evaluar analíticamente, por lo que es recomendable utilizar métodos numéricos para obtener una aproximación del valor. **Respuesta Final:** La integral doble se reduce a \[ I = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{2x^{3}} \left[ e^{2x^{2}} (2x^{2} - 1) - e^{x^{2}} (x^{2} - 1) \right] dx \] y su evaluación exacta requiere métodos avanzados o aproximaciones numéricas.