Dana sta polinoma $$ p(x)=x^{3}+2 x^{2}+4 x $$ ter $$ q(x)=-x^{2}+4 x+4 $$, Za katere vrednosti spremenljivke $$ x $$ leži graf polinoma $$ p(x) $$ nad grafom polinoma $$ q(x) $$ ?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Da bi ugotovili, kdaj graf polinoma $$ p(x) $$ leži nad grafom polinoma $$ q(x) $$, moramo rešiti neenačbo: $$ p(x) > q(x) $$ Najprej izračunamo razliko med polinoma $$ p(x) $$ in $$ q(x) $$: $$ p(x) - q(x) = (x^3 + 2x^2 + 4x) - (-x^2 + 4x + 4) $$ Poenostavimo to: $$ p(x) - q(x) = x^3 + 2x^2 + 4x + x^2 - 4x - 4 $$ $$ = x^3 + 3x^2 - 4 $$ Zdaj moramo rešiti neenačbo: $$ x^3 + 3x^2 - 4 > 0 $$ Najprej poiščimo korene polinoma $$ x^3 + 3x^2 - 4 $$. To lahko storimo z iskanjem racionalnih korenov ali z uporabo numeričnih metod. Poskusimo z vrednostmi $$ x = 1 $$ in $$ x = -1 $$: $$ f(1) = 1^3 + 3(1^2) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 $$ Torej je $$ x = 1 $$ koren. Sedaj lahko polinom razdelimo z $$ (x - 1) $$ z uporabo sintetičnega deljenja: $$ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 3 & 0 & -4 \ & & 1 & 4 & 4 \ \hline & 1 & 4 & 4 & 0 \ \end{array} $$ Tako dobimo: $$ x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4) $$ Sedaj lahko poenostimo $$ x^2 + 4x + 4 $$: $$ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 $$ Torej imamo: $$ x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2 $$ Zdaj moramo rešiti neenačbo: $$ (x - 1)(x + 2)^2 > 0 $$ Analiziramo to neenačbo. Koren $$ x = 1 $$ je enojni koren, medtem ko je $$ x = -2 $$ dvojni koren. To pomeni, da se znak polinoma spremeni pri $$ x = 1 $$, medtem ko se pri $$ x = -2 $$ ne spremeni. Zdaj preučimo intervale: 1. $$ (-\infty, -2) $$: Izberimo $$ x = -3 $$: $$ (-3 - 1)(-3 + 2)^2 = (-4)(-1)^2 = -4 < 0 $$ 2. $$ (-2, 1) $$: Izberimo $$ x = 0 $$: $$ (0 - 1)(0 + 2)^2 = (-1)(2^2) = -4 < 0 $$ 3. $$ (1, \infty) $$: Izberimo $$ x = 2 $$: $$ (2 - 1)(2 + 2)^2 = (1)(4^2) = 16 > 0 $$ Tako ugotovimo, da je $$ (x - 1)(x + 2)^2 > 0 $$ v intervalu $$ (1, \infty) $$. Zato graf polinoma $$ p(x) $$ leži nad grafom polinoma $$ q(x) $$ za: $$ x > 1 $$ Graf polinoma $$ p(x) $$ leži nad grafom polinoma $$ q(x) $$ za $$ x > 1 $$.

Dana sta polinoma \( p(x)=x^{3}+2 x^{2}+4 x \) ter \( q(x)=-x^{2}+4 x+4 \), Za katere vrednosti spremenljivke \( x \) leži graf polinoma \( p(x) \) nad grafom polinoma \( q(x) \) ?

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Algebra Questions