$$ 5^{ ext {a Questão ( } 0,6 ext { ponto) - Calcule } k \in \mathbb{R} ext { para que a igualdade a seguir seja verdadei ra: }} \begin{array}{l}\qquad \log _{2}(0,0625)^{2}+\log _{2}(0,0625)^{4}+\log _{2}(0,0625)^{6}+\cdots+\log _{2}(0,0625)^{2 k}=-99\end{array} $$

Question

$$ 5^{	ext {a Questão ( } 0,6 	ext { ponto) - Calcule } k \in \mathbb{R} 	ext { para que a igualdade a seguir seja verdadei ra: }} \begin{array}{l}\qquad \log _{2}(0,0625)^{2}+\log _{2}(0,0625)^{4}+\log _{2}(0,0625)^{6}+\cdots+\log _{2}(0,0625)^{2 k}=-99\end{array} $$

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Para resolver a equação:

$$
\log_{2}(0,0625)^{2} + \log_{2}(0,0625)^{4} + \log_{2}(0,0625)^{6} + \cdots + \log_{2}(0,0625)^{2k} = -99
$$

**Passo 1: Simplificar os Logaritmos**

Primeiro, reconhecemos que $$0,0625 = \frac{1}{16} = 2^{-4}$$. Portanto:

$$
\log_{2}(0,0625) = \log_{2}(2^{-4}) = -4
$$

**Passo 2: Reescrever a Equação**

Substituindo na equação original:

$$
(-4)^{2} + (-4)^{4} + (-4)^{6} + \cdots + (-4)^{2k} = -99
$$

Observamos que os termos formam uma progressão geométrica com razão $$16$$:

$$
16 + 256 + 4096 + \cdots + 16^{k} = -99
$$

No entanto, perceberemos que a soma de termos positivos nunca resultará em um valor negativo. Portanto, revisamos a interpretação:

**Interpretação Correta:**

A expressão correta a ser interpretada é:

$$
\log_{2}((0,0625)^2) + \log_{2}((0,0625)^4) + \cdots + \log_{2}((0,0625)^{2k}) = -99
$$

Usando a propriedade dos logaritmos $$\log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a)$$, temos:

$$
2\log_{2}(0,0625) + 4\log_{2}(0,0625) + \cdots + 2k\log_{2}(0,0625) = -99
$$

Fatorando $$\log_{2}(0,0625)$$:

$$
\log_{2}(0,0625) \cdot (2 + 4 + 6 + \cdots + 2k) = -99
$$

A soma dentro dos parênteses é uma progressão aritmética:

$$
2 + 4 + 6 + \cdots + 2k = 2 \left(1 + 2 + 3 + \cdots + k\right) = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1)
$$

Então, a equação se torna:

$$
-4 \cdot k(k + 1) = -99 \quad \Rightarrow \quad 4k(k + 1) = 99
$$

Simplificando:

$$
k^2 + k - \frac{99}{4} = 0
$$

**Passo 3: Resolver a Equação Quadrática**

Resolvemos a equação quadrática:

$$
k = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 24,75}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{100}}{2}
$$

Portanto, as soluções são:

$$
k = \frac{-1 + 10}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 \quad \text{ou} \quad k = \frac{-1 - 10}{2} = \frac{-11}{2} = -5,5
$$

**Consideração Final:**

Embora $$k$$ possa ser negativo, no contexto de somas de séries, geralmente consideramos $$k$$ como um número não negativo. Portanto, a solução mais relevante é:

$$
k = 4,5
$$

**Resposta Final:**

$$k = 4,\!5$$ ou $$k = -5,\!5$$
$$ k = 4,5 $$ ou $$ k = -5,5 $$

$ã$

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