\( 5^{\text {a Questão ( } 0,6 \text { ponto) - Calcule } k \in \mathbb{R} \text { para que a igualdade a seguir seja verdadei ra: }} \begin{array}{l}\qquad \log _{2}(0,0625)^{2}+\log _{2}(0,0625)^{4}+\log _{2}(0,0625)^{6}+\cdots+\log _{2}(0,0625)^{2 k}=-99\end{array} \)

Para resolver a equação: \[ \log_{2}(0,0625)^{2} + \log_{2}(0,0625)^{4} + \log_{2}(0,0625)^{6} + \cdots + \log_{2}(0,0625)^{2k} = -99 \] **Passo 1: Simplificar os Logaritmos** Primeiro, reconhecemos que \(0,0625 = \frac{1}{16} = 2^{-4}\). Portanto: \[ \log_{2}(0,0625) = \log_{2}(2^{-4}) = -4 \] **Passo 2: Reescrever a Equação** Substituindo na equação original: \[ (-4)^{2} + (-4)^{4} + (-4)^{6} + \cdots + (-4)^{2k} = -99 \] Observamos que os termos formam uma progressão geométrica com razão \(16\): \[ 16 + 256 + 4096 + \cdots + 16^{k} = -99 \] No entanto, perceberemos que a soma de termos positivos nunca resultará em um valor negativo. Portanto, revisamos a interpretação: **Interpretação Correta:** A expressão correta a ser interpretada é: \[ \log_{2}((0,0625)^2) + \log_{2}((0,0625)^4) + \cdots + \log_{2}((0,0625)^{2k}) = -99 \] Usando a propriedade dos logaritmos \(\log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a)\), temos: \[ 2\log_{2}(0,0625) + 4\log_{2}(0,0625) + \cdots + 2k\log_{2}(0,0625) = -99 \] Fatorando \(\log_{2}(0,0625)\): \[ \log_{2}(0,0625) \cdot (2 + 4 + 6 + \cdots + 2k) = -99 \] A soma dentro dos parênteses é uma progressão aritmética: \[ 2 + 4 + 6 + \cdots + 2k = 2 \left(1 + 2 + 3 + \cdots + k\right) = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) \] Então, a equação se torna: \[ -4 \cdot k(k + 1) = -99 \quad \Rightarrow \quad 4k(k + 1) = 99 \] Simplificando: \[ k^2 + k - \frac{99}{4} = 0 \] **Passo 3: Resolver a Equação Quadrática** Resolvemos a equação quadrática: \[ k = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 24,75}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{100}}{2} \] Portanto, as soluções são: \[ k = \frac{-1 + 10}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 \quad \text{ou} \quad k = \frac{-1 - 10}{2} = \frac{-11}{2} = -5,5 \] **Consideração Final:** Embora \(k\) possa ser negativo, no contexto de somas de séries, geralmente consideramos \(k\) como um número não negativo. Portanto, a solução mais relevante é: \[ k = 4,5 \] **Resposta Final:** \(k = 4,\!5\) ou \(k = -5,\!5\)