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08. Halle el valor reducido de la siguiente expresión: \[ A=\sqrt[n]{\frac{9^{n} \cdot 4^{n}}{6^{2 n}}} \]
Ask by Harris Goodwin. in Peru
Jan 20,2025
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Answer
El valor reducido de la expresión es 1.
Solution
Para simplificar la expresión:
\[
A = \sqrt[n]{\frac{9^{n} \cdot 4^{n}}{6^{2n}}}
\]
**Paso 1:** Simplificar la fracción dentro de la raíz.
\[
\frac{9^{n} \cdot 4^{n}}{6^{2n}} = \left(\frac{9 \cdot 4}{6^{2}}\right)^{n}
\]
**Paso 2:** Calcular los valores numéricos.
\[
9 \cdot 4 = 36 \\
6^{2} = 36
\]
Entonces,
\[
\frac{9 \cdot 4}{6^{2}} = \frac{36}{36} = 1
\]
Por lo tanto,
\[
\left(\frac{9 \cdot 4}{6^{2}}\right)^{n} = 1^{n} = 1
\]
**Paso 3:** Aplicar la raíz n-ésima.
\[
A = \sqrt[n]{1} = 1
\]
**Conclusión:**
El valor reducido de la expresión es:
\[
A = 1
\]
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Para reducir la expresión \( A=\sqrt[n]{\frac{9^{n} \cdot 4^{n}}{6^{2 n}}} \), comenzamos simplificando el interior de la raíz. Primero, expresamos \( 9 \) como \( 3^{2} \) y \( 4 \) como \( 2^{2} \): \[ A = \sqrt[n]{\frac{(3^2)^{n} \cdot (2^2)^{n}}{(6^2)^{n}}} = \sqrt[n]{\frac{3^{2n} \cdot 2^{2n}}{(6^2)^{n}}} \] Ahora, sabiendo que \( 6 = 3 \cdot 2 \), podemos escribir \( 6^2 \) como \( (3 \cdot 2)^2 = 3^2 \cdot 2^2 \): \[ (6^2)^{n} = (3^2 \cdot 2^2)^{n} = 3^{2n} \cdot 2^{2n} \] Así que: \[ A = \sqrt[n]{\frac{3^{2n} \cdot 2^{2n}}{3^{2n} \cdot 2^{2n}}} = \sqrt[n]{1} = 1 \] Por lo tanto, el valor reducido de la expresión es \( A = 1 \).
