Los valores del parámetro \( k \) (constante real) para los cuales las rectas \( L_{1}: y+\frac{x}{k+1}+3=0 \) y \( L_{2}: k y-6 x-2=0 \) son perpendiculares, están dados por

Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1. Primero, reescribimos las ecuaciones en la forma pendiente-intersección. La recta \( L_{1} \) se puede reescribir como: \[ y = -\frac{1}{k+1} x - 3 \] Así que la pendiente de \( L_{1} \) es \( m_{1} = -\frac{1}{k+1} \). La recta \( L_{2} \) se puede reescribir como: \[ y = \frac{6}{k} x + \frac{2}{k} \] Por lo tanto, la pendiente de \( L_{2} \) es \( m_{2} = \frac{6}{k} \). Para que sean perpendiculares, necesitamos que: \[ -\frac{1}{k+1} \cdot \frac{6}{k} = -1 \] Simplificando, obtenemos: \[ \frac{6}{k(k+1)} = 1 \] Por lo tanto, \[ 6 = k(k+1) \] Esto se convierte en la ecuación cuadrática: \[ k^2 + k - 6 = 0 \] Factorizando, tenemos: \[ (k - 2)(k + 3) = 0 \] Por lo que las soluciones son: \[ k = 2 \quad \text{y} \quad k = -3 \] Así que los valores del parámetro \( k \) para los cuales las rectas son perpendiculares son \( k = 2 \) y \( k = -3 \).