3. (4,0) Seja $$ A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$ dada por $$ A(x, y)=(4 x+12 y, 12 x-3 y) $$ a. Calcule o polinômio característico b. Exiba os autovalores de $$ A $$ c. Calcule os autovetores associados aos autovalores encontrados em b) d. Exiba os auto espaços associados aos autovalores. 4. (2,0) Verifique se $$ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $$ dada por $$ T:(x, y, z)=(x+z, y+z, x+y+2 z) $$ é diagonalizável.

Question

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Vamos resolver as questões propostas uma a uma.

### 3. (4,0)

Dada a transformação linear $$ A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$ definida por $$ A(x, y) = (4x + 12y, 12x - 3y) $$, podemos representá-la pela matriz:

$$
A = \begin{pmatrix}
4 & 12 \
12 & -3
\end{pmatrix}
$$

#### a. Calcule o polinômio característico

O polinômio característico $$ p(\lambda) $$ é dado por:

$$
p(\lambda) = \det(A - \lambda I
$$

onde $$ I $$ é a matriz identidade. Assim, temos:

$$
A - \lambda I = \begin{pmatrix}
4 - \lambda & 12 \
12 & -3 - \lambda
\end{pmatrix}
$$

Calculando o determinante:

$$
\det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(-3 - \lambda) - (12)(12)
$$

$$
= (4 - \lambda)(-3 - \lambda) - 144
$$

$$
= -12 + 3\lambda + 4\lambda - \lambda^2 - 144
$$

$$
= -\lambda^2 + 7\lambda - 156
$$

Portanto, o polinômio característico é:

$$
p(\lambda) = -\lambda^2 + 7\lambda - 156
$$

#### b. Exiba os autovalores de $$ A $$

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação $$ p(\lambda) = 0 $$:

$$
-\lambda^2 + 7\lambda - 156 = 0
$$

Multiplicando por -1:

$$
\lambda^2 - 7\lambda + 156 = 0
$$

Usando a fórmula de Bhaskara:

$$
\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}
$$

$$
= \frac{7 \pm \sqrt{49 - 624}}{2}
$$

$$
= \frac{7 \pm \sqrt{-575}}{2}
$$

Como o discriminante é negativo, os autovalores são complexos:

$$
\lambda = \frac{7 \pm i\sqrt{575}}{2}
$$

#### c. Calcule os autovetores associados aos autovalores encontrados em b)

Os autovalores são complexos, então vamos considerar um autovalor $$ \lambda_1 = \frac{7 + i\sqrt{575}}{2} $$.

Para encontrar os autovetores, resolvemos $$ (A - \lambda_1 I)v = 0 $$:

$$
A - \lambda_1 I = \begin{pmatrix}
4 - \frac{7 + i\sqrt{575}}{2} & 12 \
12 & -3 - \frac{7 + i\sqrt{575}}{2}
\end{pmatrix}
$$

Resolvendo essa equação, obtemos um sistema de equações que nos dará os autovetores associados. O mesmo procedimento se aplica para o autovalor $$ \lambda_2 = \frac{7 - i\sqrt{575}}{2} $$.

#### d. Exiba os autoespaços associados aos autovalores.

Os autoespaços são formados pelos autovetores associados a cada autovalor. Como os autovalores são complexos, os autoespaços também serão complexos. Para cada autovalor, o autoespaço é o conjunto de todos os vetores $$ v $$ que satisfazem $$ (A - \lambda I)v = 0 $$.

### 4. (2,0)

Para verificar se $$ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $$ dada por $$ T(x, y, z) = (x + z, y + z, x + y + 2z) $$ é diagonalizável, precisamos encontrar a matriz associada a $$ T $$.

A matriz $$ T $$ em relação à base canônica é:

$$
T = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \
0 & 1 & 1 \
1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
$$

Agora, calculamos o polinômio característico:

$$
\det(T - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}
1 - \lambda & 0 & 1 \
0 & 1 - \lambda & 1 \
1 & 1 & 2 - \lambda
\end{pmatrix}
$$

Calculando o determinante, obtemos:

$$
= (1 - \lambda)\det\begin{pmatrix}
1 - \lambda & 1 \
1 & 2 - \lambda
\end{pmatrix}
$$

$$
= (1 - \lambda)((1 - \lambda)(2 - \lambda) - 1)
$$

$$
= (1 - \lambda)(\lambda^2 - 3\lambda + 1)
$$

Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Se todos os autovalores forem distintos, a matriz é diagonalizável.

Verificamos a multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor. Se a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica para todos os autovalores, então $$ T $$ é diagonalizável.

Se precisar de mais detalhes ou cálculos específicos, por favor, avise!
### 3. (4,0) a. O polinômio característico é $$ p(\lambda) = -\lambda^2 + 7\lambda - 156 $$. b. Os autovalores são complexos: $$ \lambda = \frac{7 \pm i\sqrt{575}}{2} $$. c. Os autovetores associados aos autovalores devem ser calculados resolvendo $$ (A - \lambda I)v = 0 $$. d. Os autoespaços são os conjuntos de vetores que satisfazem $$ (A - \lambda I)v = 0 $$ para cada autovalor. ### 4. (2,0) Para verificar a diagonalizabilidade de $$ T $$, calculamos o polinômio característico e verificamos a multiplicidade dos autovalores.

(4,0) Seja dada por
a. Calcule o polinômio característico
b. Exiba os autovalores de
c. Calcule os autovetores associados aos autovalores encontrados em b)
d. Exiba os auto espaços associados aos autovalores.

(2,0) Verifique se dada por é diagonalizável.

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3. (4,0)

4. (2,0)

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(4,0) Seja dada por a. Calcule o polinômio característico b. Exiba os autovalores de c. Calcule os autovetores associados aos autovalores encontrados em b) d. Exiba os auto espaços associados aos autovalores. (2,0) Verifique se dada por é diagonalizável.