3. (4,0) Seja \( A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) dada por \( A(x, y)=(4 x+12 y, 12 x-3 y) \) a. Calcule o polinômio característico b. Exiba os autovalores de \( A \) c. Calcule os autovetores associados aos autovalores encontrados em b) d. Exiba os auto espaços associados aos autovalores. 4. (2,0) Verifique se \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) dada por \( T:(x, y, z)=(x+z, y+z, x+y+2 z) \) é diagonalizável.

Vamos resolver as questões propostas uma a uma. ### 3. (4,0) Dada a transformação linear \( A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definida por \( A(x, y) = (4x + 12y, 12x - 3y) \), podemos representá-la pela matriz: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 12 & -3 \end{pmatrix} \] #### a. Calcule o polinômio característico O polinômio característico \( p(\lambda) \) é dado por: \[ p(\lambda) = \det(A - \lambda I \] onde \( I \) é a matriz identidade. Assim, temos: \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 12 \\ 12 & -3 - \lambda \end{pmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(-3 - \lambda) - (12)(12) \] \[ = (4 - \lambda)(-3 - \lambda) - 144 \] \[ = -12 + 3\lambda + 4\lambda - \lambda^2 - 144 \] \[ = -\lambda^2 + 7\lambda - 156 \] Portanto, o polinômio característico é: \[ p(\lambda) = -\lambda^2 + 7\lambda - 156 \] #### b. Exiba os autovalores de \( A \) Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação \( p(\lambda) = 0 \): \[ -\lambda^2 + 7\lambda - 156 = 0 \] Multiplicando por -1: \[ \lambda^2 - 7\lambda + 156 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 624}}{2} \] \[ = \frac{7 \pm \sqrt{-575}}{2} \] Como o discriminante é negativo, os autovalores são complexos: \[ \lambda = \frac{7 \pm i\sqrt{575}}{2} \] #### c. Calcule os autovetores associados aos autovalores encontrados em b) Os autovalores são complexos, então vamos considerar um autovalor \( \lambda_1 = \frac{7 + i\sqrt{575}}{2} \). Para encontrar os autovetores, resolvemos \( (A - \lambda_1 I)v = 0 \): \[ A - \lambda_1 I = \begin{pmatrix} 4 - \frac{7 + i\sqrt{575}}{2} & 12 \\ 12 & -3 - \frac{7 + i\sqrt{575}}{2} \end{pmatrix} \] Resolvendo essa equação, obtemos um sistema de equações que nos dará os autovetores associados. O mesmo procedimento se aplica para o autovalor \( \lambda_2 = \frac{7 - i\sqrt{575}}{2} \). #### d. Exiba os autoespaços associados aos autovalores. Os autoespaços são formados pelos autovetores associados a cada autovalor. Como os autovalores são complexos, os autoespaços também serão complexos. Para cada autovalor, o autoespaço é o conjunto de todos os vetores \( v \) que satisfazem \( (A - \lambda I)v = 0 \). ### 4. (2,0) Para verificar se \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) dada por \( T(x, y, z) = (x + z, y + z, x + y + 2z) \) é diagonalizável, precisamos encontrar a matriz associada a \( T \). A matriz \( T \) em relação à base canônica é: \[ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Agora, calculamos o polinômio característico: \[ \det(T - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1 - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \] Calculando o determinante, obtemos: \[ = (1 - \lambda)\det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \] \[ = (1 - \lambda)((1 - \lambda)(2 - \lambda) - 1) \] \[ = (1 - \lambda)(\lambda^2 - 3\lambda + 1) \] Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Se todos os autovalores forem distintos, a matriz é diagonalizável. Verificamos a multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor. Se a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica para todos os autovalores, então \( T \) é diagonalizável. Se precisar de mais detalhes ou cálculos específicos, por favor, avise!