3. Let $$ X $$ be a r.v.; where $$ X \sim \operatorname{Beta}(\alpha, \beta) $$;and $$ f(x)=30 x^{4}(1-x) ; 0 \leq x \leq 1 $$. Find $$ \mu $$ and $$ \sigma $$ ?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

لحساب المتوسط ($$ \mu $$) والانحراف المعياري ($$ \sigma $$) للمتغير العشوائي $$ X $$ الذي يتبع توزيع بيتا $$ \operatorname{Beta}(\alpha, \beta) $$، نبدأ بمقارنة دالة الكثافة المعطاة مع الشكل العام لدالة كثافة توزيع بيتا.

دالة الكثافة المعطاة:
$$ f(x) = 30x^{4}(1 - x) \quad \text{لـ} \quad 0 \leq x \leq 1 $$

الشكل العام لدالة كثافة توزيع بيتا:
$$ f(x) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} x^{\alpha -1} (1 - x)^{\beta -1} \quad \text{لـ} \quad 0 \leq x \leq 1 $$
حيث $$ B(\alpha, \beta) $$ هو دالة بيتا.

بمقارنة الأسس أمام $$ x $$ و$$ (1 - x) $$:
$$
\begin{cases}
\alpha - 1 = 4 \
\beta - 1 = 1
\end{cases}
$$
لذلك:
$$
\alpha = 5 \
\beta = 2
$$

الآن نحسب المتوسط والانحراف المعياري باستخدام معادلات توزيعة بيتا:

1. **المتوسط ($$ \mu $$)**:
$$
\mu = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} = \frac{5}{5 + 2} = \frac{5}{7} \approx 0.714
$$

2. **التباين ($$ \sigma^2 $$)**:
$$
\sigma^2 = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)} = \frac{5 \times 2}{7^2 \times 8} = \frac{10}{392} = \frac{5}{196}
$$

3. **الانحراف المعياري ($$ \sigma $$)**:
$$
\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{5}{196}} = \frac{\sqrt{5}}{14} \approx 0.159
$$

**النتائج النهائية:**
$$
\mu = \frac{5}{7} \approx 0.714
$$
$$
\sigma \approx 0.159
$$
المتوسط ($$ \mu $$) هو 0.714، والانحراف المعياري ($$ \sigma $$) هو حوالي 0.159.

Let be a r.v.; where ;and . Find
and ?

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Statistics Questions

Let be a r.v.; where ;and . Find and ?