1. Fie şi .
   a Să se verifice că este subspaţiu vectorial al lui .
   b Să se determine şi , indicând câte o bază în fiecare.
   c Să se determine şi . Este suma directă? (Justificaţi!)
   d Să se afle , complementul ortogonal al lui (se consideră produsul scalar uzual).
   e Ce reprezintă din punct de vedere geometric şi ?.

a) Pentru a verifica dacă este un subspațiu vectorial al lui , trebuie să arătăm că satisface condițiile de a conține vectorul nul, și de a fi închis față de adunare și înmulțirea cu scalari. Vectorul nul este dat de obținut prin alegerea și . Dacă luăm și , atunci suma devine , care este tot un element al lui . De asemenea, pentru , este din nou în . Deci, este un subspațiu vectorial.

b) Dimensiunea lui este 2 deoarece putem exprima orice vector din ca o combinație liniară a vectorilor și . Baza pentru este deci . Dimensiunea lui este 2 de asemenea, pentru că ecuația reprezintă un plan în . O bază a lui poate fi dată de vectorii și .

c) Suma este formată din toate combinațiile liniară ale vectorilor din și . Intersecția este mulțimea vectorilor care pot fi scriși atât sub formă de vector din cât și din . Acestea pot fi găsite prin rezolvarea sistemului format de ecuațiile ambelor mulțimi. Suma este directă dacă intersecția este doar vectorul nul, caz în care .

d) Complementul ortogonal al lui , notat , este format din toate vectorii din care sunt ortogonali cu toți vectorii din . Acesta se poate determina prin a considera produsul scalar standard și a găsi condițiile pe coordonatele vectorului .

e) Geometric, este un plan în . este o dreaptă, perpendiculară pe varii vectorii din . este de asemenea un plan, iar suma formează un spațiu tridimensional sau un alt plan, depinzând de intersecția lor. Intersecția , dacă nu este punctul nul, reprezintă o linie comună între cele două planuri.