1. Fie \( S=\left\{(3 a-b, a, b) \in \mathbf{R}^{3} \mid a, b \in \mathbf{R}\right\} \) şi \( W=\left\{v=(x, y, z) \in \mathbf{R}^{3} \mid 2 x-3 y+4 z=0\right\} \). a Să se verifice că \( S \) este subspaţiu vectorial al lui \( \mathbf{R}^{3} \). b Să se determine \( \operatorname{dim}_{\mathbf{R}} S \) şi \( \operatorname{dim}_{\mathbf{R}} W \), indicând câte o bază în fiecare. c Să se determine \( S+W \) şi \( S \cap W \). Este suma directă? (Justificaţi!) d Să se afle \( S^{\perp} \), complementul ortogonal al lui \( S \) (se consideră produsul scalar uzual). e Ce reprezintă din punct de vedere geometric \( S, S^{\perp}, W, S+W \) şi \( S \cap W \) ?.

a) Pentru a verifica dacă \( S \) este un subspațiu vectorial al lui \( \mathbf{R}^{3} \), trebuie să arătăm că satisface condițiile de a conține vectorul nul, și de a fi închis față de adunare și înmulțirea cu scalari. Vectorul nul este dat de \( (0, 0, 0) \) obținut prin alegerea \( a = 0 \) și \( b = 0 \). Dacă luăm \( v_1 = (3a_1 - b_1, a_1, b_1) \) și \( v_2 = (3a_2 - b_2, a_2, b_2) \), atunci suma \( v_1 + v_2 \) devine \( (3(a_1 + a_2) - (b_1 + b_2), a_1 + a_2, b_1 + b_2) \), care este tot un element al lui \( S \). De asemenea, pentru \( k \in \mathbf{R} \), \( k v_1 = (k(3a_1 - b_1), ka_1, kb_1) \) este din nou în \( S \). Deci, \( S \) este un subspațiu vectorial. b) Dimensiunea lui \( S \) este 2 deoarece putem exprima orice vector din \( S \) ca o combinație liniară a vectorilor \( (3, 1, 0) \) și \( (-1, 0, 1) \). Baza pentru \( S \) este deci \( \{(3, 1, 0), (-1, 0, 1)\} \). Dimensiunea lui \( W \) este 2 de asemenea, pentru că ecuația \( 2x - 3y + 4z = 0 \) reprezintă un plan în \( \mathbf{R}^3 \). O bază a lui \( W \) poate fi dată de vectorii \( (3, 2, 0) \) și \( (0, 4, 3) \). c) Suma \( S + W \) este formată din toate combinațiile liniară ale vectorilor din \( S \) și \( W \). Intersecția \( S \cap W \) este mulțimea vectorilor care pot fi scriși atât sub formă de vector din \( S \) cât și din \( W \). Acestea pot fi găsite prin rezolvarea sistemului format de ecuațiile ambelor mulțimi. Suma este directă dacă intersecția este doar vectorul nul, caz în care \( \dim(S + W) = \dim S + \dim W \). d) Complementul ortogonal al lui \( S \), notat \( S^{\perp} \), este format din toate vectorii din \( \mathbf{R}^3 \) care sunt ortogonali cu toți vectorii din \( S \). Acesta se poate determina prin a considera produsul scalar standard și a găsi condițiile pe coordonatele vectorului \( v = (x, y, z) \). e) Geometric, \( S \) este un plan în \( \mathbf{R}^3 \). \( S^{\perp} \) este o dreaptă, perpendiculară pe varii vectorii din \( S \). \( W \) este de asemenea un plan, iar suma \( S + W \) formează un spațiu tridimensional sau un alt plan, depinzând de intersecția lor. Intersecția \( S \cap W \), dacă nu este punctul nul, reprezintă o linie comună între cele două planuri.