с) $$ f(x)=x^{4}-0,02 x^{2} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Рассмотрим функцию $$ f(x) = x^{4} - 0{,}02x^{2} $$.

### 1. Найдём первую производную $$ f'(x) $$:
$$
f'(x) = \frac{d}{dx}\left( x^{4} - 0{,}02x^{2} \right) = 4x^{3} - 0{,}04x
$$

### 2. Найдём критические точки, приравняв первую производную к нулю:
$$
4x^{3} - 0{,}04x = 0 \
x(4x^{2} - 0{,}04) = 0
$$
Отсюда получаем:
$$
x = 0 \quad \text{или} \quad 4x^{2} - 0{,}04 = 0 \
4x^{2} = 0{,}04 \
x^{2} = 0{,}01 \
x = \pm 0{,}1
$$
Таким образом, критические точки: $$ x = 0 $$, $$ x = 0{,}1 $$, $$ x = -0{,}1 $$.

### 3. Найдём вторую производную $$ f''(x) $$ для определения характера критических точек:
$$
f''(x) = \frac{d}{dx}\left( 4x^{3} - 0{,}04x \right) = 12x^{2} - 0{,}04
$$

### 4. Определим характер критических точек:

- **Для $$ x = 0 $$:**
$$
f''(0) = 12(0)^{2} - 0{,}04 = -0{,}04 < 0
$$
Следовательно, $$ x = 0 $$ — **локальный максимум**.

- **Для $$ x = 0{,}1 $$:**
$$
f''(0{,}1) = 12(0{,}1)^{2} - 0{,}04 = 12 \times 0{,}01 - 0{,}04 = 0{,}12 - 0{,}04 = 0{,}08 > 0
$$
Следовательно, $$ x = 0{,}1 $$ — **локальный минимум**.

- **Для $$ x = -0{,}1 $$:**
$$
f''(-0{,}1) = 12(-0{,}1)^{2} - 0{,}04 = 12 \times 0{,}01 - 0{,}04 = 0{,}12 - 0{,}04 = 0{,}08 > 0
$$
Следовательно, $$ x = -0{,}1 $$ — **локальный минимум**.

### 5. Найдём значения функции в критических точках:

- $$ f(0) = 0^{4} - 0{,}02 \times 0^{2} = 0 $$
- $$ f(0{,}1) = (0{,}1)^{4} - 0{,}02 \times (0{,}1)^{2} = 0{,}0001 - 0{,}0002 = -0{,}0001 $$
- $$ f(-0{,}1) = (-0{,}1)^{4} - 0{,}02 \times (-0{,}1)^{2} = 0{,}0001 - 0{,}0002 = -0{,}0001 $$

### 6. Поведение функции при $$ |x| \to \infty $$:
$$
\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \left( x^{4} - 0{,}02x^{2} \right) = +\infty
$$
Функция возрастает до бесконечности при $$ x \to \pm \infty $$.

### 7. График функции:
Функция $$ f(x) = x^{4} - 0{,}02x^{2} $$ имеет форму "W". Она обладает:
- **Локальным максимумом** в точке $$ x = 0 $$ с $$ f(0) = 0 $$.
- **Двумя локальными минимумами** в точках $$ x = \pm 0{,}1 $$ с $$ f(\pm 0{,}1) = -0{,}0001 $$.

### Итог:
Функция имеет три критические точки: одна точка локального максимума в $$ x = 0 $$ и две точки локальных минимумов в $$ x = \pm 0{,}1 $$. График функции симметричен относительно оси $$ y $$ и стремится к бесконечности при увеличении $$ |x| $$.
Функция $$ f(x) = x^{4} - 0{,}02x^{2} $$ имеет: - Локальный максимум в точке $$ x = 0 $$ с значением 0. - Локальные минимумы в точках $$ x = \pm 0{,}1 $$ с значениями -0{,}0001. График функции симметричен относительно оси $$ y $$ и стремится к бесконечности при увеличении $$ |x| $$.

с)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions