9 Dados los complejos $$ 2-a i $$ y $$ 3-b i $$, halla $$ a $$ y $$ b $$ para que su producto sea igual a $$ 8+4 i $$.

Question

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Para hallar los valores de $$ a $$ y $$ b $$ que satisfacen la ecuación $$(2 - a i)(3 - b i) = 8 + 4 i$$, seguimos los siguientes pasos:

1. **Multiplicación de los números complejos:**

$$
(2 - a i)(3 - b i) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-b i) + (-a i) \cdot 3 + (-a i)(-b i)
$$

$$
= 6 - 2b i - 3a i + a b i^2
$$

Dado que $$ i^2 = -1 $$, se simplifica a:

$$
6 - 2b i - 3a i - a b
$$

2. **Separación en partes real e imaginaria:**

Comparando con $$ 8 + 4 i $$, obtenemos:

$$
\begin{cases}
6 - a b = 8 \quad &\text{(parte real)} \
-2b - 3a = 4 \quad &\text{(parte imaginaria)}
\end{cases}
$$

3. **Resolución del sistema de ecuaciones:**

- De la primera ecuación:

$$
6 - a b = 8 \implies -a b = 2 \implies a b = -2
$$

- De la segunda ecuación:

$$
-2b - 3a = 4
$$

Sustituyendo $$ a = \frac{-2}{b} $$ en la segunda ecuación:

$$
-2b - 3\left(\frac{-2}{b}\right) = 4 \implies -2b + \frac{6}{b} = 4
$$

Multiplicamos todo por $$ b $$ para eliminar el denominador:

$$
-2b^2 + 6 = 4b \implies -2b^2 - 4b + 6 = 0
$$

Dividiendo por $$-2$$:

$$
b^2 + 2b - 3 = 0
$$

Factorizando:

$$
(b + 3)(b - 1) = 0 \implies b = -3 \quad \text{o} \quad b = 1
$$

4. **Encontrar $$ a $$ para cada valor de $$ b $$:**

- Si $$ b = -3 $$:

$$
a = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}
$$

- Si $$ b = 1 $$:

$$
a = \frac{-2}{1} = -2
$$

**Conclusión:**

Las soluciones que satisfacen la ecuación dada son:

- $$ a = \frac{2}{3} $$ y $$ b = -3 $$
- $$ a = -2 $$ y $$ b = 1 $$

---

**Respuesta Final:**

Las soluciones son
• a = –2 y b = 1
• a = 2⁄3 y b = –3.
Las soluciones son: - $$ a = -2 $$ y $$ b = 1 $$ - $$ a = \frac{2}{3} $$ y $$ b = -3 $$

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su producto sea igual a .

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