Exercicel Résoudre dans IR \( x^{2}-31 x+30=0 \) \( 5 x^{2}+9 x-2=0 \) \( (x+1)\left(-x^{2}+4\right) \leq 0 \) \( \left(x^{2}-1\right)\left(9 x^{2}-6 x+1\right) \leq 0 \)

Bien sûr, résolvons chaque équation et inéquation pas à pas dans \(\mathbb{R}\). --- ### 1. Résoudre \( x^{2} - 31x + 30 = 0 \) **Équation quadratique générale :** \[ ax^{2} + bx + c = 0 \] **Les coefficients sont :** - \( a = 1 \) - \( b = -31 \) - \( c = 30 \) **Calcul discriminant (\( \Delta \)) :** \[ \Delta = b^{2} - 4ac \] \[ \Delta = (-31)^{2} - 4 \times 1 \times 30 \] \[ \Delta = 961 - 120 \] \[ \Delta = 841 \] **Solutions :** \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x = \frac{31 \pm \sqrt{841}}{2} \] \[ \sqrt{841} = 29 \] Donc, \[ x_{1} = \frac{31 + 29}{2} = \frac{60}{2} = 30 \] \[ x_{2} = \frac{31 - 29}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] **Solutions :** \[ x = 1 \quad \text{et} \quad x = 30 \] --- ### 2. Résoudre \( 5x^{2} + 9x - 2 = 0 \) **Les coefficients sont :** - \( a = 5 \) - \( b = 9 \) - \( c = -2 \) **Calcul discriminant (\( \Delta \)) :** \[ \Delta = b^{2} - 4ac \] \[ \Delta = 9^{2} - 4 \times 5 \times (-2) \] \[ \Delta = 81 + 40 \] \[ \Delta = 121 \] **Solutions :** \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{10} \] \[ \sqrt{121} = 11 \] Donc, \[ x_{1} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = 0,2 \] \[ x_{2} = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2 \] **Solutions :** \[ x = -2 \quad \text{et} \quad x = 0,2 \] --- ### 3. Résoudre \( (x + 1)(-x^{2} + 4) \leq 0 \) **Simplifions l'inéquation :** \[ (x + 1)(-x^{2} + 4) \leq 0 \] \[ (x + 1)(4 - x^{2}) \leq 0 \] \[ (x + 1)(2 - x)(2 + x) \leq 0 \] **Trouvons les racines :** - \( x + 1 = 0 \) ⇒ \( x = -1 \) - \( 2 - x = 0 \) ⇒ \( x = 2 \) - \( 2 + x = 0 \) ⇒ \( x = -2 \) **Points critiques :** \[ x = -2, \quad x = -1, \quad x = 2 \] **Étudier le signe de chaque facteur dans les intervalles délimités par les points critiques :** 1. **Pour \( x < -2 \) :** - \( x + 1 < 0 \) - \( 2 - x > 0 \) - \( 2 + x < 0 \) - Produit : \( (-) \times (+) \times (-) = (+) \) 2. **Pour \( -2 < x < -1 \) :** - \( x + 1 < 0 \) - \( 2 - x > 0 \) - \( 2 + x > 0 \) - Produit : \( (-) \times (+) \times (+) = (-) \) 3. **Pour \( -1 < x < 2 \) :** - \( x + 1 > 0 \) - \( 2 - x > 0 \) - \( 2 + x > 0 \) - Produit : \( (+) \times (+) \times (+) = (+) \) 4. **Pour \( x > 2 \) :** - \( x + 1 > 0 \) - \( 2 - x < 0 \) - \( 2 + x > 0 \) - Produit : \( (+) \times (-) \times (+) = (-) \) **Inéquation :** \[ (x + 1)(2 - x)(2 + x) \leq 0 \] **Solutions :** Les intervalles où le produit est négatif ou nul : - \( -2 \leq x \leq -1 \) - \( x \geq 2 \) **Donc, l'ensemble des solutions est :** \[ x \in [-2, -1] \cup [2, +\infty[ \] --- ### 4. Résoudre \( (x^{2} - 1)(9x^{2} - 6x + 1) \leq 0 \) **Simplifions l'inéquation :** \[ (x^{2} - 1)(9x^{2} - 6x + 1) \leq 0 \] **Factorisons \( x^{2} - 1 \) :** \[ x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1) \] **Étudions le trinôme \( 9x^{2} - 6x + 1 \) :** Calculons le discriminant : \[ \Delta = (-6)^{2} - 4 \times 9 \times 1 \] \[ \Delta = 36 - 36 \] \[ \Delta = 0 \] Le trinôme a une double racine : \[ x = \frac{6}{2 \times 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \] Donc, \[ 9x^{2} - 6x + 1 = 9\left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} \] Comme \( 9\left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} \geq 0 \) pour tout \( x \), et il est égal à zéro uniquement quand \( x = \frac{1}{3} \). **Reprenons l'inéquation :** \[ (x - 1)(x + 1) \times 9\left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} \leq 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) \times \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} \leq 0 \] **Analysons les signes :** Les racines sont : - \( x = -1 \) - \( x = \frac{1}{3} \) (double racine) - \( x = 1 \) **Points critiques :** \[ x = -1, \quad x = \frac{1}{3}, \quad x = 1 \] **Étudier le signe de chaque facteur :** Le terme \( \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} \) est toujours positif ou nul. 1. **Pour \( x < -1 \) :** - \( x - 1 < 0 \) - \( x + 1 < 0 \) - \( \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} > 0 \) - Produit : \( (-) \times (-) \times (+) = (+) \) 2. **Pour \( -1 < x < \frac{1}{3} \) :** - \( x - 1 < 0 \) - \( x + 1 > 0 \) - \( \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} > 0 \) - Produit : \( (-) \times (+) \times (+) = (-) \) 3. **Pour \( \frac{1}{3} < x < 1 \) :** - \( x - 1 < 0 \) - \( x + 1 > 0 \) - \( \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} > 0 \) - Produit : \( (-) \times (+) \times (+) = (-) \) 4. **Pour \( x > 1 \) :** - \( x - 1 > 0 \) - \( x + 1 > 0 \) - \( \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} > 0 \) - Produit : \( (+) \times (+) \times (+) = (+) \) **Inéquation :** \[ (x - 1)(x + 1)(x - \frac{1}{3})^{2} \leq 0 \] **Solutions :** Les intervalles où le produit est négatif ou nul : - \( -1 \leq x \leq 1 \) Cependant, au point \( x = \frac{1}{3} \), le produit est nul. **Donc, l'ensemble des solutions est :** \[ x \in [-1, 1] \] --- **Résumé des solutions :** 1. \( x^{2} - 31x + 30 = 0 \) : \( x = 1 \) et \( x = 30 \) 2. \( 5x^{2} + 9x - 2 = 0 \) : \( x = -2 \) et \( x = 0,2 \) 3. \( (x + 1)(-x^{2} + 4) \leq 0 \) : \( x \in [-2, -1] \cup [2, +\infty[ \) 4. \( (x^{2} - 1)(9x^{2} - 6x + 1) \leq 0 \) : \( x \in [-1, 1] \)