Exercicel Résoudre dans IR $$ x^{2}-31 x+30=0 $$ $$ 5 x^{2}+9 x-2=0 $$ $$ (x+1)\left(-x^{2}+4\right) \leq 0 $$ $$ \left(x^{2}-1\right)\left(9 x^{2}-6 x+1\right) \leq 0 $$

Question

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Bien sûr, résolvons chaque équation et inéquation pas à pas dans $$\mathbb{R}$$. --- ### 1. Résoudre $$ x^{2} - 31x + 30 = 0 $$ **Équation quadratique générale :** $$ ax^{2} + bx + c = 0 $$ **Les coefficients sont :** - $$ a = 1 $$ - $$ b = -31 $$ - $$ c = 30 $$ **Calcul discriminant ($$ \Delta $$) :** $$ \Delta = b^{2} - 4ac $$ $$ \Delta = (-31)^{2} - 4 \times 1 \times 30 $$ $$ \Delta = 961 - 120 $$ $$ \Delta = 841 $$ **Solutions :** $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$ $$ x = \frac{31 \pm \sqrt{841}}{2} $$ $$ \sqrt{841} = 29 $$ Donc, $$ x_{1} = \frac{31 + 29}{2} = \frac{60}{2} = 30 $$ $$ x_{2} = \frac{31 - 29}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ **Solutions :** $$ x = 1 \quad \text{et} \quad x = 30 $$ --- ### 2. Résoudre $$ 5x^{2} + 9x - 2 = 0 $$ **Les coefficients sont :** - $$ a = 5 $$ - $$ b = 9 $$ - $$ c = -2 $$ **Calcul discriminant ($$ \Delta $$) :** $$ \Delta = b^{2} - 4ac $$ $$ \Delta = 9^{2} - 4 \times 5 \times (-2) $$ $$ \Delta = 81 + 40 $$ $$ \Delta = 121 $$ **Solutions :** $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$ $$ x = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{10} $$ $$ \sqrt{121} = 11 $$ Donc, $$ x_{1} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = 0,2 $$ $$ x_{2} = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2 $$ **Solutions :** $$ x = -2 \quad \text{et} \quad x = 0,2 $$ --- ### 3. Résoudre $$ (x + 1)(-x^{2} + 4) \leq 0 $$ **Simplifions l'inéquation :** $$ (x + 1)(-x^{2} + 4) \leq 0 $$ $$ (x + 1)(4 - x^{2}) \leq 0 $$ $$ (x + 1)(2 - x)(2 + x) \leq 0 $$ **Trouvons les racines :** - $$ x + 1 = 0 $$ ⇒ $$ x = -1 $$ - $$ 2 - x = 0 $$ ⇒ $$ x = 2 $$ - $$ 2 + x = 0 $$ ⇒ $$ x = -2 $$ **Points critiques :** $$ x = -2, \quad x = -1, \quad x = 2 $$ **Étudier le signe de chaque facteur dans les intervalles délimités par les points critiques :** 1. **Pour $$ x < -2 $$ :** - $$ x + 1 < 0 $$ - $$ 2 - x > 0 $$ - $$ 2 + x < 0 $$ - Produit : $$ (-) \times (+) \times (-) = (+) $$ 2. **Pour $$ -2 < x < -1 $$ :** - $$ x + 1 < 0 $$ - $$ 2 - x > 0 $$ - $$ 2 + x > 0 $$ - Produit : $$ (-) \times (+) \times (+) = (-) $$ 3. **Pour $$ -1 < x < 2 $$ :** - $$ x + 1 > 0 $$ - $$ 2 - x > 0 $$ - $$ 2 + x > 0 $$ - Produit : $$ (+) \times (+) \times (+) = (+) $$ 4. **Pour $$ x > 2 $$ :** - $$ x + 1 > 0 $$ - $$ 2 - x < 0 $$ - $$ 2 + x > 0 $$ - Produit : $$ (+) \times (-) \times (+) = (-) $$ **Inéquation :** $$ (x + 1)(2 - x)(2 + x) \leq 0 $$ **Solutions :** Les intervalles où le produit est négatif ou nul : - $$ -2 \leq x \leq -1 $$ - $$ x \geq 2 $$ **Donc, l'ensemble des solutions est :** $$ x \in [-2, -1] \cup [2, +\infty[ $$ --- ### 4. Résoudre $$ (x^{2} - 1)(9x^{2} - 6x + 1) \leq 0 $$ **Simplifions l'inéquation :** $$ (x^{2} - 1)(9x^{2} - 6x + 1) \leq 0 $$ **Factorisons $$ x^{2} - 1 $$ :** $$ x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1) $$ **Étudions le trinôme $$ 9x^{2} - 6x + 1 $$ :** Calculons le discriminant : $$ \Delta = (-6)^{2} - 4 \times 9 \times 1 $$ $$ \Delta = 36 - 36 $$ $$ \Delta = 0 $$ Le trinôme a une double racine : $$ x = \frac{6}{2 \times 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} $$ Donc, $$ 9x^{2} - 6x + 1 = 9\left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} $$ Comme $$ 9\left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} \geq 0 $$ pour tout $$ x $$, et il est égal à zéro uniquement quand $$ x = \frac{1}{3} $$. **Reprenons l'inéquation :** $$ (x - 1)(x + 1) \times 9\left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} \leq 0 $$ $$ (x - 1)(x + 1) \times \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} \leq 0 $$ **Analysons les signes :** Les racines sont : - $$ x = -1 $$ - $$ x = \frac{1}{3} $$ (double racine) - $$ x = 1 $$ **Points critiques :** $$ x = -1, \quad x = \frac{1}{3}, \quad x = 1 $$ **Étudier le signe de chaque facteur :** Le terme $$ \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} $$ est toujours positif ou nul. 1. **Pour $$ x < -1 $$ :** - $$ x - 1 < 0 $$ - $$ x + 1 < 0 $$ - $$ \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} > 0 $$ - Produit : $$ (-) \times (-) \times (+) = (+) $$ 2. **Pour $$ -1 < x < \frac{1}{3} $$ :** - $$ x - 1 < 0 $$ - $$ x + 1 > 0 $$ - $$ \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} > 0 $$ - Produit : $$ (-) \times (+) \times (+) = (-) $$ 3. **Pour $$ \frac{1}{3} < x < 1 $$ :** - $$ x - 1 < 0 $$ - $$ x + 1 > 0 $$ - $$ \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} > 0 $$ - Produit : $$ (-) \times (+) \times (+) = (-) $$ 4. **Pour $$ x > 1 $$ :** - $$ x - 1 > 0 $$ - $$ x + 1 > 0 $$ - $$ \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} > 0 $$ - Produit : $$ (+) \times (+) \times (+) = (+) $$ **Inéquation :** $$ (x - 1)(x + 1)(x - \frac{1}{3})^{2} \leq 0 $$ **Solutions :** Les intervalles où le produit est négatif ou nul : - $$ -1 \leq x \leq 1 $$ Cependant, au point $$ x = \frac{1}{3} $$, le produit est nul. **Donc, l'ensemble des solutions est :** $$ x \in [-1, 1] $$ --- **Résumé des solutions :** 1. $$ x^{2} - 31x + 30 = 0 $$ : $$ x = 1 $$ et $$ x = 30 $$ 2. $$ 5x^{2} + 9x - 2 = 0 $$ : $$ x = -2 $$ et $$ x = 0,2 $$ 3. $$ (x + 1)(-x^{2} + 4) \leq 0 $$ : $$ x \in [-2, -1] \cup [2, +\infty[ $$ 4. $$ (x^{2} - 1)(9x^{2} - 6x + 1) \leq 0 $$ : $$ x \in [-1, 1] $$ **Résolutions :** 1. **Équation $$ x^{2} - 31x + 30 = 0 $$ :** - Solutions : $$ x = 1 $$ et $$ x = 30 $$ 2. **Équation $$ 5x^{2} + 9x - 2 = 0 $$ :** - Solutions : $$ x = -2 $$ et $$ x = 0,2 $$ 3. **Inéquation $$ (x + 1)(-x^{2} + 4) \leq 0 $$ :** - Solution : $$ x \in [-2, -1] \cup [2, +\infty[ $$ 4. **Inéquation $$ (x^{2} - 1)(9x^{2} - 6x + 1) \leq 0 $$ :** - Solution : $$ x \in [-1, 1] $$ **Résumé :** - **Équation 1 :** $$ x = 1 $$ et $$ x = 30 $$ - **Équation 2 :** $$ x = -2 $$ et $$ x = 0,2 $$ - **Inéquation 3 :** $$ x $$ entre -2 et -1, et $$ x $$ supérieur ou égal à 2 - **Inéquation 4 :** $$ x $$ entre -1 et 1

Exercicel
Résoudre dans IR

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