EJERCICIO 2 . Sea la función $$ f(x)=x^{3}-4 x^{2}+4 x $$. a) Calculad la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x=1 $$ ( 1 punto). b) Calculad la derivada segunda $$ f^{\prime \prime}(x) $$ de la función $$ f(x) $$ y evaluadla en el punto $$ x=1 $$ (0,5 puntos). c) Calculad el polinomio de Taylor de grado 2, $$ T_{2}(x) $$, de la función $$ f(x) $$ en el punto $$ x=1 $$. Desarrollad la solución expresada de la forma $$ a x^{2}+b x+c $$. (1 punto).

Question

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Claro, resolvamos cada apartado paso a paso.

### Dada la función:
$$ f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x $$

#### **a) Ecuación de la recta tangente en $$ x = 1 $$**

1. **Encontrar $$ f(1) $$:**
   $$
   f(1) = (1)^3 - 4(1)^2 + 4(1) = 1 - 4 + 4 = 1
   $$
   Punto de tangencia: $$ (1, 1) $$.

2. **Calcular la derivada primera $$ f'(x) $$:**
   $$
   f'(x) = 3x^2 - 8x + 4
   $$
   
3. **Evaluar la derivada en $$ x = 1 $$:**
   $$
   f'(1) = 3(1)^2 - 8(1) + 4 = 3 - 8 + 4 = -1
   $$
   Pendiente de la recta tangente: $$ m = -1 $$.

4. **Ecuación de la recta tangente usando la forma punto-pendiente:**
   $$
   y - y_1 = m(x - x_1) \
   y - 1 = -1(x - 1) \
   y = -x + 2
   $$

**Respuesta:**
La ecuación de la recta tangente es $$ y = -x + 2 $$.

---

#### **b) Derivada segunda $$ f''(x) $$ y su evaluación en $$ x = 1 $$**

1. **Calcular la derivada segunda:**
   $$
   f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 \
   f''(x) = 6x - 8
   $$

2. **Evaluar en $$ x = 1 $$:**
   $$
   f''(1) = 6(1) - 8 = 6 - 8 = -2
   $$

**Respuesta:**
La derivada segunda es $$ f''(x) = 6x - 8 $$ y evaluada en $$ x = 1 $$ es $$ f''(1) = -2 $$.

---

#### **c) Polinomio de Taylor de grado 2 en $$ x = 1 $$**

El polinomio de Taylor de grado 2 para $$ f(x) $$ en $$ x = a $$ se expresa como:
$$
T_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2
$$

Aplicando $$ a = 1 $$:
$$
T_2(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2}(x - 1)^2 \
T_2(x) = 1 + (-1)(x - 1) + \frac{-2}{2}(x - 1)^2 \
T_2(x) = 1 - (x - 1) - (x - 1)^2 \
$$

Desarrollando:
$$
T_2(x) = 1 - x + 1 - (x^2 - 2x + 1) \
T_2(x) = 2 - x - x^2 + 2x - 1 \
T_2(x) = -x^2 + x + 1
$$

**Respuesta:**
El polinomio de Taylor de grado 2 es $$ T_2(x) = -x^2 + x + 1 $$.
**Respuestas:** a) La ecuación de la recta tangente es $$ y = -x + 2 $$. b) La derivada segunda es $$ f''(x) = 6x - 8 $$ y en $$ x = 1 $$ es $$ f''(1) = -2 $$. c) El polinomio de Taylor de grado 2 es $$ T_2(x) = -x^2 + x + 1 $$.

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