Un quadrilatero \( A B C D \) è diviso dalla diagonale \( A C \) in due triangoli rettangoli in \( B \) e \( D \). La diagonale \( B D \) è biset- trice dell'angolo \( A \widehat{B} C \). Dimostra che: a. \( A B C D \) è inscrivibile in una circonferenza; b. il triangolo \( A C D \) è isoscele.

Per dimostrare le affermazioni richieste, analizziamo il problema passo dopo passo. ### a. Dimostrazione che \( A B C D \) è inscrivibile in una circonferenza Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se la somma degli angoli opposti è \( 180^\circ \). 1. **Identificazione degli angoli**: - Sappiamo che \( \triangle ABC \) è un triangolo rettangolo in \( B \), quindi \( \angle ABC = 90^\circ \). - Allo stesso modo, \( \triangle ACD \) è un triangolo rettangolo in \( D \), quindi \( \angle ACD = 90^\circ \). 2. **Angoli opposti**: - Consideriamo gli angoli \( \angle ABC \) e \( \angle ACD \): \[ \angle ABC + \angle ACD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] - Ora consideriamo gli angoli \( \angle ABD \) e \( \angle CAD \). Poiché \( BD \) è la bisettrice dell'angolo \( A \widehat{B} C \), abbiamo: \[ \angle ABD = \angle ACD \quad \text{e} \quad \angle CAD = \angle ABC \] - Pertanto, anche la somma degli angoli opposti è: \[ \angle ABD + \angle CAD = \angle ABC + \angle ACD = 180^\circ \] 3. **Conclusione**: - Poiché la somma degli angoli opposti è \( 180^\circ \), il quadrilatero \( ABCD \) è inscrivibile in una circonferenza. ### b. Dimostrazione che il triangolo \( A C D \) è isoscele Per dimostrare che il triangolo \( ACD \) è isoscele, dobbiamo dimostrare che i lati \( AC \) e \( AD \) sono uguali. 1. **Utilizzo della bisettrice**: - Dato che \( BD \) è la bisettrice dell'angolo \( A \widehat{B} C \), possiamo affermare che: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} \] - Poiché \( \triangle ABC \) e \( \triangle ACD \) sono triangoli rettangoli, possiamo applicare il teorema di Pitagora. 2. **Applicazione del teorema di Pitagora**: - Sappiamo che: \[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \quad \text{e} \quad AD^2 + DC^2 = AC^2 \] - Dato che \( BD \) è bisettrice, possiamo concludere che \( AB = AD \) e \( BC = DC \). 3. **Conclusione**: - Dato che \( AB = AD \) e \( BC = DC \), e considerando che \( AC \) è comune, possiamo concludere che \( AC = AD \), quindi il triangolo \( ACD \) è isoscele. In sintesi, abbiamo dimostrato che: a. Il quadrilatero \( ABCD \) è inscrivibile in una circonferenza. b. Il triangolo \( ACD \) è isoscele.