$$ 191 \quad 3 ^ { 2 x } - 9 \cdot 3 ^ { x } + 3 = \frac { 1 } { 3 } \cdot 3 ^ { x } $$

Question

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Iniziamo a risolvere l'equazione $$ 191 \cdot 3^{2x} - 9 \cdot 3^{x} + 3 = \frac{1}{3} \cdot 3^{x} $$.

1. **Semplificazione dell'equazione**: Possiamo riscrivere $$ \frac{1}{3} \cdot 3^{x} $$ come $$ 3^{x-1} $$. Quindi l'equazione diventa:
   $$
   191 \cdot 3^{2x} - 9 \cdot 3^{x} + 3 = 3^{x-1}
   $$

2. **Moltiplicare entrambi i lati per $$ 3 $$** per eliminare il denominatore:
   $$
   573 \cdot 3^{2x} - 27 \cdot 3^{x} + 9 = 3^{x}
   $$

3. **Riorganizzare l'equazione**:
   $$
   573 \cdot 3^{2x} - 28 \cdot 3^{x} + 9 = 0
   $$

4. **Sostituzione**: Poniamo $$ y = 3^{x} $$. Quindi $$ 3^{2x} = y^{2} $$ e l'equazione diventa:
   $$
   573y^{2} - 28y + 9 = 0
   $$

5. **Utilizzare la formula quadratica** per risolvere l'equazione $$ ay^{2} + by + c = 0 $$:
   $$
   y = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}
   $$
   dove $$ a = 573 $$, $$ b = -28 $$, e $$ c = 9 $$.

Calcoliamo il discriminante e le soluzioni per $$ y $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\left(-28\right)^{2}-4\times 573\times 9$$
- step1: Multiply the terms:
  $$\left(-28\right)^{2}-20628$$
- step2: Simplify:
  $$28^{2}-20628$$
- step3: Evaluate the power:
  $$784-20628$$
- step4: Subtract the numbers:
  $$-19844$$
Solve the equation $$ 573y^{2} - 28y + 9 = 0 $$.
Solve the equation(The complex numbers system) by following steps:
- step0: Solve using the quadratic formula in the complex numbers system:
  $$573y^{2}-28y+9=0$$
- step1: Solve using the quadratic formula:
  $$y=\frac{28\pm \sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 573\times 9}}{2\times 573}$$
- step2: Simplify the expression:
  $$y=\frac{28\pm \sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 573\times 9}}{1146}$$
- step3: Simplify the expression:
  $$y=\frac{28\pm \sqrt{-19844}}{1146}$$
- step4: Simplify the expression:
  $$y=\frac{28\pm 22\sqrt{41}\times i}{1146}$$
- step5: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&y=\frac{28+22\sqrt{41}\times i}{1146}\&y=\frac{28-22\sqrt{41}\times i}{1146}\end{align}$$
- step6: Simplify the expression:
  $$\begin{align}&y=\frac{14}{573}+\frac{11\sqrt{41}}{573}i\&y=\frac{28-22\sqrt{41}\times i}{1146}\end{align}$$
- step7: Simplify the expression:
  $$\begin{align}&y=\frac{14}{573}+\frac{11\sqrt{41}}{573}i\&y=\frac{14}{573}-\frac{11\sqrt{41}}{573}i\end{align}$$
- step8: Rewrite:
  $$y_{1}=\frac{14}{573}-\frac{11\sqrt{41}}{573}i,y_{2}=\frac{14}{573}+\frac{11\sqrt{41}}{573}i$$
- step9: Remove the complex number(s):
  $$\textrm{No real solution}$$
L'equazione $$ 573y^{2} - 28y + 9 = 0 $$ ha un discriminante negativo ($$-19844$$), il che significa che non ci sono soluzioni reali per $$ y $$.

Di conseguenza, l'equazione originale $$ 191 \cdot 3^{2x} - 9 \cdot 3^{x} + 3 = \frac{1}{3} \cdot 3^{x} $$ non ha soluzioni reali.
L'equazione $$ 191 \cdot 3^{2x} - 9 \cdot 3^{x} + 3 = \frac{1}{3} \cdot 3^{x} $$ non ha soluzioni reali.

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