$$ (y+1) \cdot\left(y^{2}+x^{2}\right)=k \cdot y^{2} $$ - Despeje $$ k, k=\square $$ - Derive la expresión anterior, $$ 0=\square $$ - Determine la ecuación diferencial, $$ \frac{d y}{d x}=\square $$

Question

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Para despejar $$ k $$ de la ecuación $$ (y+1) \cdot\left(y^{2}+x^{2}\right)=k \cdot y^{2} $$:

1. Despejamos $$ k $$:
   $$
   k = \frac{(y+1)(y^2 + x^2)}{y^2}
   $$

Por lo tanto, $$ k = \frac{(y+1)(y^2 + x^2)}{y^2} $$.

2. Ahora derivamos la expresión anterior con respecto a $$ x $$:
   $$
   \frac{d}{dx}\left((y+1)(y^2 + x^2)\right) = \frac{d}{dx}(k \cdot y^2)
   $$
   Usando la regla del producto y la regla de la cadena, tenemos:
   $$
   \frac{d}{dx}((y+1)(y^2 + x^2)) = (y^2 + x^2) \frac{dy}{dx} + (y+1)(2x) = k \cdot 2y \frac{dy}{dx}
   $$

Entonces, la expresión derivada se puede escribir como:
   $$
   (y^2 + x^2) \frac{dy}{dx} + 2x(y+1) = k \cdot 2y \frac{dy}{dx}
   $$

Reorganizando, obtenemos:
   $$
   0 = k \cdot 2y \frac{dy}{dx} - (y^2 + x^2) \frac{dy}{dx} - 2x(y+1)
   $$

3. Finalmente, determinamos la ecuación diferencial:
   $$
   \frac{dy}{dx} = \frac{2x(y+1)}{k \cdot 2y - (y^2 + x^2)}
   $$

Por lo tanto, la ecuación diferencial es:
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{2x(y+1)}{k \cdot 2y - (y^2 + x^2)}
$$
1. $$ k = \frac{(y+1)(y^2 + x^2)}{y^2} $$ 2. $$ 0 = k \cdot 2y \frac{dy}{dx} - (y^2 + x^2) \frac{dy}{dx} - 2x(y+1) $$ 3. $$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x(y+1)}{k \cdot 2y - (y^2 + x^2)} $$

\( (y+1) \cdot\left(y^{2}+x^{2}\right)=k \cdot y^{2} \) - Despeje \( k, k=\square \) - Derive la expresión anterior, \( 0=\square \) - Determine la ecuación diferencial, \( \frac{d y}{d x}=\square \)

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