e) $$ 10-(x-2)^{2}=2 x(x-1)+3 x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Escribimos la ecuación:
   
   $$
   10 - (x-2)^2 = 2x(x-1) + 3x
   $$

2. Expandimos $$(x-2)^2$$:
   
   $$
   (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4
   $$

3. Sustituimos en la ecuación y simplificamos el lado izquierdo:
   
   $$
   10 - (x^2 - 4x + 4) = 10 - x^2 + 4x - 4 = -x^2 + 4x + 6
   $$

4. Simplificamos el lado derecho:

$$
   2x(x-1) + 3x = 2x^2 - 2x + 3x = 2x^2 + x
   $$

5. La ecuación se transforma en:

$$
   -x^2 + 4x + 6 = 2x^2 + x
   $$

6. Llevamos todos los términos a un lado para igualar a cero:

$$
   -x^2 + 4x + 6 - 2x^2 - x = 0
   $$

Simplificando:

$$
   -3x^2 + 3x + 6 = 0
   $$

7. Multiplicamos la ecuación por $$-1$$ para facilitar los cálculos:

$$
   3x^2 - 3x - 6 = 0
   $$

8. Dividimos toda la ecuación por $$3$$:

$$
   x^2 - x - 2 = 0
   $$

9. Factorizamos la ecuación cuadrática:

$$
   (x-2)(x+1) = 0
   $$

10. Igualamos cada factor a cero y resolvemos:

- $$x-2=0 \Rightarrow x=2$$
    
    - $$x+1=0 \Rightarrow x=-1$$

La solución de la ecuación es:

$$
x = 2 \quad \text{ó} \quad x = -1
$$
Las soluciones de la ecuación son $$ x = 2 $$ y $$ x = -1 $$.

e)