\[ x^{2} y^{\prime \prime}-5 x y^{\prime}+5 y=x \cdot \ln (x) \] - Escriba la ecuación característica para la solución homogénea en función de \( m \) : - Indique las raíces de la ecuación característica (Ejemplo de escritura: \( \left.\left\{m_{1}, m_{2}, \ldots m_{n}\right\}\right) \) : - Indique las soluciones homogéneas de la ecuación diferencial (Ejemplo de escritura: \( \left\{y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}\right\} \) sin las constantes): - Indique el valor del Wronskiano: - Indique la solución particular: . .

Para la ecuación diferencial dada, la ecuación característica se obtiene al sustituir \( y = e^{mx} \), lo que nos lleva a: \[ m^{2} - 5m + 5 = 0. \] Las raíces de esta ecuación características son: \[ m_{1}, m_{2} = \frac{5 \pm i\sqrt{15}}{2}. \] Las soluciones homogéneas de la ecuación diferencial son: \[ y_{1} = e^{\frac{5}{2}x} \cos\left(\frac{\sqrt{15}}{2} x\right), \quad y_{2} = e^{\frac{5}{2}x} \sin\left(\frac{\sqrt{15}}{2} x\right). \] El valor del Wronskiano se calcula como: \[ W(y_{1}, y_{2}) = e^{5x}. \] Para la solución particular, dado que el lado derecho es \( x \ln(x) \), podemos usar el método de coeficientes indeterminados y encontramos que: \[ y_{p} = Ax \ln(x) + Bx. \]