\[ x^{2} y^{\prime \prime}-5 x y^{\prime}+5 y=x \cdot \ln (x) \] - Escriba la ecuación característica para la solución homogénea en función de \( m \) : - Indique las raíces de la ecuación característica (Ejemplo de escritura: \( \left.\left\{m_{1}, m_{2}, \ldots m_{n}\right\}\right) \) : - Indique las soluciones homogéneas de la ecuación diferencial (Ejemplo de escritura: \( \left\{y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}\right\} \) sin las constantes): - Indique el valor del Wronskiano: - Indique la solución particular: . .

Para resolver la ecuación diferencial dada: \[ x^{2} y^{\prime \prime} - 5x y^{\prime} + 5y = x \cdot \ln(x) \] seguimos los siguientes pasos: ### 1. Ecuación Característica para la Solución Homogénea en función de \( m \): Como la ecuación es de tipo Cauchy-Euler, asumimos una solución de la forma \( y = x^{m} \). Al sustituir en la parte homogénea de la ecuación: \[ x^{2} y^{\prime \prime} - 5x y^{\prime} + 5y = 0 \] Obtenemos: \[ m(m-1) - 5m + 5 = 0 \] Simplificando: \[ m^{2} - 6m + 5 = 0 \] **Ecuación característica:** \( m^{2} - 6m + 5 = 0 \) --- ### 2. Raíces de la Ecuación Característica: Resolviendo la ecuación cuadrática: \[ m = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \] Obtenemos las raíces: \[ m_{1} = 5 \quad \text{y} \quad m_{2} = 1 \] **Raíces:** \( \left\{1, 5\right\} \) --- ### 3. Soluciones Homogéneas de la Ecuación Diferencial: Las soluciones homogéneas corresponden a cada raíz de la ecuación característica: \[ y_{1} = x^{1} = x \quad \text{y} \quad y_{2} = x^{5} \] **Soluciones homogéneas:** \( \left\{x, x^{5}\right\} \) --- ### 4. Valor del Wronskiano: El Wronskiano de las soluciones \( y_{1} \) y \( y_{2} \) se calcula como: \[ W = y_{1} y_{2}^{\prime} - y_{2} y_{1}^{\prime} \] Calculando las derivadas: \[ y_{1}^{\prime} = 1 \quad \text{y} \quad y_{2}^{\prime} = 5x^{4} \] Sustituyendo: \[ W = x \cdot 5x^{4} - x^{5} \cdot 1 = 5x^{5} - x^{5} = 4x^{5} \] **Wronskiano:** \( W = 4x^{5} \) --- ### 5. Solución Particular: Dado que el término no homogéneo es \( x \ln(x) \) y \( x \) es una solución de la parte homogénea, asumimos una solución particular de la forma: \[ y_{p} = A x (\ln x)^{2} + B x \ln x \] Después de derivar y sustituir en la ecuación diferencial, resolvemos para \( A \) y \( B \) obteniendo: \[ A = -\frac{1}{8} \quad \text{y} \quad B = -\frac{1}{20} \] Por lo tanto, la solución particular es: \[ y_{p} = -\frac{1}{8} x (\ln x)^{2} - \frac{1}{20} x \ln x \] **Solución particular:** \( y_{p} = -\dfrac{1}{8} x (\ln x)^{2} - \dfrac{1}{20} x \ln x \) --- ### Solución General de la Ecuación Diferencial: Combinando las soluciones homogéneas y la solución particular, la solución general es: \[ y(x) = C_{1} x + C_{2} x^{5} - \frac{1}{8} x (\ln x)^{2} - \frac{1}{20} x \ln x \] donde \( C_{1} \) y \( C_{2} \) son constantes de integración.