$$ y = \sin ^ { 3 } 2 x + \cos ^ { 4 } 3 x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Данное уравнение описывает функцию:

$$ y = \sin^{3}(2x) + \cos^{4}(3x) $$

**Разбор компонентов функции:**

1. **$$\sin^{3}(2x)$$:**
   - **Аргумент функции синуса**: $$2x$$ означает, что функция синуса имеет удвоенную частоту по сравнению с основным периодом $$2\pi$$. Это приводит к тому, что функция совершает два полных цикла за один полный цикл функции $$\sin(x)$$.
   - **Возведение в степень 3**: Кубическая степень изменяет форму графика синуса, делая его более выраженным в положительных и отрицательных участках. Поскольку степень нечётная, знак исходного синуса сохраняется.

2. **$$\cos^{4}(3x)$$:**
   - **Аргумент функции косинуса**: $$3x$$ увеличивает частоту до трёх циклов за основной период $$2\pi$$.
   - **Возведение в степень 4**: Четная степень делает все значения функции косинуса неотрицательными. Это приводит к тому, что график косинуса становится "сплющенным" по вертикали, и все его пики находятся выше или на уровне оси $$x$$.

**Поведение функции $$y$$:**
- **Периодичность**: Период функции определяется наибольшим общим кратным периодов составляющих функций. Для $$\sin(2x)$$ период равен $$\pi$$, а для $$\cos(3x)$$ — $$\frac{2\pi}{3}$$. Наибольшее общее кратное этих периодов — $$2\pi$$, поэтому общая периодичность функции $$y$$ тоже равна $$2\pi$$.
  
- **Амплитуда**:
  - Максимальное значение $$\sin^{3}(2x)$$ достигается при $$\sin(2x) = \pm1$$, что даёт $$\pm1$$.
  - Максимальное значение $$\cos^{4}(3x)$$ достигается при $$\cos(3x) = \pm1$$, что даёт $$1$$.
  - Таким образом, максимальное значение $$y$$ может достигать $$1 + 1 = 2$$, а минимальное — $$-1 + 0 = -1$$ (так как $$\cos^{4}(3x)$$ всегда неотрицательно).

**График функции:**
График функции $$y = \sin^{3}(2x) + \cos^{4}(3x)$$ будет представлять собой сочетание волнообразных паттернов двух синусоидальных функций с разными частотами и модифицированными амплитудами из-за возведения в степени. Функция будет периодической с периодом $$2\pi$$, демонстрируя сложную амплитудную модуляцию.

**Применение:**
Такие функции могут использоваться в различных областях, включая физику (для моделирования сложных колебаний), инженерию (для анализа сигналов) и компьютерную графику (для создания сложных анимаций и форм).
Функция $$ y = \sin^{3}(2x) + \cos^{4}(3x) $$ описывает сложное колебательное движение с периодом $$2\pi$$. Она состоит из синусоидальной функции с частотой 2 и косинусоидальной функции с частотой 3, возведённых в нечётную и четную степени соответственно. Это делает график функции периодическим с периодом $$2\pi$$, а амплитуду можно оценить как от $$-1$$ до $$2$$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Trigonometry Questions