Answer
Функция \( y = \sin^{3}(2x) + \cos^{4}(3x) \) описывает сложное колебательное движение с периодом \(2\pi\). Она состоит из синусоидальной функции с частотой 2 и косинусоидальной функции с частотой 3, возведённых в нечётную и четную степени соответственно. Это делает график функции периодическим с периодом \(2\pi\), а амплитуду можно оценить как от \(-1\) до \(2\).
Solution
Данное уравнение описывает функцию:
\[ y = \sin^{3}(2x) + \cos^{4}(3x) \]
**Разбор компонентов функции:**
1. **\(\sin^{3}(2x)\):**
- **Аргумент функции синуса**: \(2x\) означает, что функция синуса имеет удвоенную частоту по сравнению с основным периодом \(2\pi\). Это приводит к тому, что функция совершает два полных цикла за один полный цикл функции \(\sin(x)\).
- **Возведение в степень 3**: Кубическая степень изменяет форму графика синуса, делая его более выраженным в положительных и отрицательных участках. Поскольку степень нечётная, знак исходного синуса сохраняется.
2. **\(\cos^{4}(3x)\):**
- **Аргумент функции косинуса**: \(3x\) увеличивает частоту до трёх циклов за основной период \(2\pi\).
- **Возведение в степень 4**: Четная степень делает все значения функции косинуса неотрицательными. Это приводит к тому, что график косинуса становится "сплющенным" по вертикали, и все его пики находятся выше или на уровне оси \(x\).
**Поведение функции \(y\):**
- **Периодичность**: Период функции определяется наибольшим общим кратным периодов составляющих функций. Для \(\sin(2x)\) период равен \(\pi\), а для \(\cos(3x)\) — \(\frac{2\pi}{3}\). Наибольшее общее кратное этих периодов — \(2\pi\), поэтому общая периодичность функции \(y\) тоже равна \(2\pi\).
- **Амплитуда**:
- Максимальное значение \(\sin^{3}(2x)\) достигается при \(\sin(2x) = \pm1\), что даёт \(\pm1\).
- Максимальное значение \(\cos^{4}(3x)\) достигается при \(\cos(3x) = \pm1\), что даёт \(1\).
- Таким образом, максимальное значение \(y\) может достигать \(1 + 1 = 2\), а минимальное — \(-1 + 0 = -1\) (так как \(\cos^{4}(3x)\) всегда неотрицательно).
**График функции:**
График функции \(y = \sin^{3}(2x) + \cos^{4}(3x)\) будет представлять собой сочетание волнообразных паттернов двух синусоидальных функций с разными частотами и модифицированными амплитудами из-за возведения в степени. Функция будет периодической с периодом \(2\pi\), демонстрируя сложную амплитудную модуляцию.
**Применение:**
Такие функции могут использоваться в различных областях, включая физику (для моделирования сложных колебаний), инженерию (для анализа сигналов) и компьютерную графику (для создания сложных анимаций и форм).
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Explain
Simplify this solution
