Determinar la longitud de arco de la hélice circular con función
vectorial del punto al
punto

Ask by Christensen Bird. in Colombia

Nov 26,2024

Question

Determinar la longitud de arco de la hélice circular con función vectorial $$ r(t)=\cos (t) i+\operatorname{sen}(t) j+t k $$ del punto $$ (1,0,0) $$ al punto $$ (1,0,2 \pi) $$

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Para determinar la longitud de arco de la hélice circular definida por la función vectorial

, primero necesitamos calcular la derivada de

:

La longitud de arco

entre dos puntos

y

se calcula usando la integral:

Primero, encontramos la norma de

:

Luego, evaluamos la longitud de arco desde

hasta

:

Por lo tanto, la longitud de arco de la hélice circular entre los puntos dados es

.

1. **Identificación de los valores de $$ t $$**:
   - En el punto $$ (1, 0, 0) $$:
     $$
     \cos(t) = 1 \quad \Rightarrow \quad t = 0
     $$
   - En el punto $$ (1, 0, 2\pi) $$:
     $$
     \cos(t) = 1 \quad \Rightarrow \quad t = 2\pi
     $$

Por lo tanto, los límites de integración para $$ t $$ son de $$ 0 $$ a $$ 2\pi $$.

2. **Cálculo de la longitud de arco**:
   La longitud de arco $$ L $$ de una curva parametrizada $$ r(t) $$ se calcula mediante la integral:
   $$
   L = \int_{a}^{b} \| r'(t) \| \, dt
   $$
   donde $$ r'(t) $$ es la derivada de $$ r(t) $$ y $$ \| r'(t) \| $$ es la norma de esa derivada.

3. **Derivada de $$ r(t) $$**:
   Calculamos $$ r'(t) $$:
   $$
   r'(t) = \frac{d}{dt}(\cos(t) \, \mathbf{i} + \sin(t) \, \mathbf{j} + t \, \mathbf{k}) = -\sin(t) \, \mathbf{i} + \cos(t) \, \mathbf{j} + \mathbf{k}
   $$

4. **Norma de $$ r'(t) $$**:
   Ahora calculamos la norma $$ \| r'(t) \| $$:
   $$
   \| r'(t) \| = \sqrt{(-\sin(t))^2 + (\cos(t))^2 + (1)^2} = \sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t) + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
   $$

5. **Integral para la longitud de arco**:
   Sustituyendo en la integral:
   $$
   L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2} \, dt = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} dt = \sqrt{2} [t]_{0}^{2\pi} = \sqrt{2} (2\pi - 0) = 2\pi \sqrt{2}
   $$

Por lo tanto, la longitud de arco de la hélice circular desde el punto $$ (1, 0, 0) $$ hasta el punto $$ (1, 0, 2\pi) $$ es:
$$
\boxed{2\pi \sqrt{2}}
$$
La longitud de arco de la hélice circular es $$ 2\pi \sqrt{2} $$.

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vectorial del punto al
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