Determinar la longitud de arco de la hélice circular con función vectorial $$ r(t)=\cos (t) i+\operatorname{sen}(t) j+t k $$ del punto $$ (1,0,0) $$ al punto $$ (1,0,2 \pi) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar la longitud de arco de la hélice circular dada por la función vectorial $$ r(t) = \cos(t) \, \mathbf{i} + \sin(t) \, \mathbf{j} + t \, \mathbf{k} $$ desde el punto $$ (1, 0, 0) $$ hasta el punto $$ (1, 0, 2\pi) $$, primero identificamos los valores de $$ t $$ correspondientes a estos puntos.

1. **Identificación de los valores de $$ t $$**:
   - En el punto $$ (1, 0, 0) $$:
     $$
     \cos(t) = 1 \quad \Rightarrow \quad t = 0
     $$
   - En el punto $$ (1, 0, 2\pi) $$:
     $$
     \cos(t) = 1 \quad \Rightarrow \quad t = 2\pi
     $$

Por lo tanto, los límites de integración para $$ t $$ son de $$ 0 $$ a $$ 2\pi $$.

2. **Cálculo de la longitud de arco**:
   La longitud de arco $$ L $$ de una curva parametrizada $$ r(t) $$ se calcula mediante la integral:
   $$
   L = \int_{a}^{b} \| r'(t) \| \, dt
   $$
   donde $$ r'(t) $$ es la derivada de $$ r(t) $$ y $$ \| r'(t) \| $$ es la norma de esa derivada.

3. **Derivada de $$ r(t) $$**:
   Calculamos $$ r'(t) $$:
   $$
   r'(t) = \frac{d}{dt}(\cos(t) \, \mathbf{i} + \sin(t) \, \mathbf{j} + t \, \mathbf{k}) = -\sin(t) \, \mathbf{i} + \cos(t) \, \mathbf{j} + \mathbf{k}
   $$

4. **Norma de $$ r'(t) $$**:
   Ahora calculamos la norma $$ \| r'(t) \| $$:
   $$
   \| r'(t) \| = \sqrt{(-\sin(t))^2 + (\cos(t))^2 + (1)^2} = \sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t) + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
   $$

5. **Integral para la longitud de arco**:
   Sustituyendo en la integral:
   $$
   L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2} \, dt = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} dt = \sqrt{2} [t]_{0}^{2\pi} = \sqrt{2} (2\pi - 0) = 2\pi \sqrt{2}
   $$

Por lo tanto, la longitud de arco de la hélice circular desde el punto $$ (1, 0, 0) $$ hasta el punto $$ (1, 0, 2\pi) $$ es:
$$
\boxed{2\pi \sqrt{2}}
$$
La longitud de arco de la hélice circular es $$ 2\pi \sqrt{2} $$.

Determinar la longitud de arco de la hélice circular con función vectorial \( r(t)=\cos (t) i+\operatorname{sen}(t) j+t k \) del punto \( (1,0,0) \) al punto \( (1,0,2 \pi) \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Calculus Questions