1. Решить систему графическим способом $$ \left\{\begin{array}{c}2 x^{2}+4 x+y=2 \ x-3 y=1\end{array}\right. $$ 2. Решить систему способом подстановки $$ \left\{\begin{array}{c}5 x+y-x^{2}=1 \ x-y=4\end{array}\right. $$ 3. Решить систему способом сложения $$ \left\{\begin{array}{c} 4 x^{2}-8 x+2 y=2 \ 20 x-5 y=5 \end{array}\right. $$ 4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращаетс в пункт отправления. Найдите скорость теплохо, в неподвижной воде, если скорость течения рав 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него. $$ \text { 5*. Решить систему }\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}=2, \ \frac{3}{x+y}+\frac{4}{x-y}=7 . \end{array}\right. $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

### 1. Решение системы графическим способом

Дана система уравнений:
$$
\begin{cases}
2x^{2} + 4x + y = 2 \
x - 3y = 1
\end{cases}
$$

**Шаг 1: Преобразуем каждое уравнение для построения графиков.**

1. Первое уравнение:
$$
y = -2x^{2} - 4x + 2
$$
Это парабола, ветви которой направлены вниз.

2. Второе уравнение:
$$
y = \frac{x - 1}{3}
$$
Это прямая линия.

**Шаг 2: Построим графики уравнений.**

- **Парабола** $$ y = -2x^{2} - 4x + 2 $$:

Строим точки для различных значений $$ x $$:

| $$ x $$ | $$ y $$ |
  |---|---|
  | -4 | -2(-4)^2 - 4(-4) + 2 = -32 + 16 + 2 = -14 |
  | -3 | -2(9) - 4(-3) + 2 = -18 + 12 + 2 = -4 |
  | -2 | -2(4) - 4(-2) + 2 = -8 + 8 + 2 = 2 |
  | -1 | -2(1) - 4(-1) + 2 = -2 + 4 + 2 = 4 |
  | 0  | -2(0) - 4(0) + 2 = 2 |
  | 1  | -2(1) - 4(1) + 2 = -2 -4 +2 = -4 |
  | 2  | -2(4) - 4(2) + 2 = -8 -8 +2 = -14 |

- **Прямая** $$ y = \frac{x - 1}{3} $$:

Строим точки для различных значений $$ x $$:

| $$ x $$ | $$ y $$ |
  |---|---|
  | -3 | $$\frac{-3 -1}{3} = -\frac{4}{3}$$ |
  | 0  | $$\frac{0 -1}{3} = -\frac{1}{3}$$ |
  | 3  | $$\frac{3 -1}{3} = \frac{2}{3}$$ |
  | 6  | $$\frac{6 -1}{3} = \frac{5}{3}$$ |

**Шаг 3: Найдем точки пересечения графиков.**

При построении графиков видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках примерно при:

$$
x \approx 0.447, \quad y \approx -0.184
$$
$$
x \approx -2.613, \quad y \approx -1.204
$$

**Ответ:**
Система имеет два решения:
$$
\left( \approx 0.447,\ \approx -0.184 \right) \quad \text{и} \quad \left( \approx -2.613,\ \approx -1.204 \right)
$$

---

### 2. Решение системы методом подстановки

Дана система уравнений:
$$
\begin{cases}
5x + y - x^{2} = 1 \
x - y = 4
\end{cases}
$$

**Шаг 1: Выразим $$ y $$ из второго уравнения.**
$$
x - y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = x - 4
$$

**Шаг 2: Подставим выражение для $$ y $$ в первое уравнение.**
$$
5x + (x - 4) - x^{2} = 1 \
6x -4 -x^{2} =1 \
-x^{2} +6x -5=0 \
x^{2} -6x +5=0
$$

**Шаг 3: Решим квадратное уравнение.**
$$
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}
$$
$$
x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1
$$

**Шаг 4: Найдем соответствующие значения $$ y $$.**
$$
y = x - 4
$$
$$
\text{Для } x_1 = 5: \quad y = 5 - 4 = 1
$$
$$
\text{Для } x_2 = 1: \quad y = 1 - 4 = -3
$$

**Ответ:**
Система имеет два решения:
$$
(5,\ 1) \quad \text{и} \quad (1,\ -3)
$$

---

### 3. Решение системы методом сложения

Дана система уравнений:
$$
\begin{cases}
4x^{2} - 8x + 2y = 2 \
20x - 5y = 5
\end{cases}
$$

**Шаг 1: Приведем коэффициенты уравнений для исключения одной из переменных.**

Умножим первое уравнение на 5 и второе на 2, чтобы коэффициенты при $$ y $$ стали одинаковыми:
$$
\begin{cases}
20x^{2} - 40x + 10y = 10 \quad (1) \times 5 \
40x - 10y = 10 \quad (2) \times 2
\end{cases}
$$

**Шаг 2: Сложим два уравнения для исключения $$ y $$.**
$$
20x^{2} - 40x + 10y + 40x - 10y = 10 + 10 \
20x^{2} = 20 \
x^{2} = 1 \
x = \pm 1
$$

**Шаг 3: Найдем соответствующие значения $$ y $$.**

Используем второе исходное уравнение:
$$
20x - 5y =5 \quad \Rightarrow \quad 5y = 20x -5 \quad \Rightarrow \quad y = 4x -1
$$

Для $$ x =1 $$:
$$
y=4(1) -1 =3
$$

Для $$ x=-1 $$:
$$
y=4(-1) -1 =-5
$$

**Ответ:**
Система имеет два решения:
$$
(1,\ 3) \quad \text{и} \quad (-1,\ -5)
$$

---

### 4. Задача о теплоходе

**Условие задачи:**

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и возвращается обратно. Скорость течения реки $$ v_t = 4 $$ км/ч. Стоянка длится 15 часов. Общие время от отплытия до возвращения — 39 часов.

Найти скорость теплохода в неподвижной воде $$ v $$.

**Шаг 1: Определим скорости теплохода относительно берега.**

- По течению: $$ v_{\text{туда}} = v + v_t $$
- Против течения: $$ v_{\text{обратно}} = v - v_t $$

**Шаг 2: Запишем время движения туда и обратно.**

- Время туда: $$ t_{\text{туда}} = \frac{280}{v + 4} $$
- Время обратно: $$ t_{\text{обратно}} = \frac{280}{v - 4} $$

**Шаг 3: Запишем общее время.**

$$
t_{\text{туда}} + t_{\text{обратно}} + t_{\text{стаянка}} = 39 \
\frac{280}{v + 4} + \frac{280}{v - 4} + 15 = 39 \
\frac{280}{v + 4} + \frac{280}{v - 4} = 24
$$

**Шаг 4: Решим уравнение относительно $$ v $$.**

$$
\frac{280(v -4) + 280(v +4)}{(v +4)(v -4)} =24 \
280v -1120 + 280v +1120 =24(v^{2} -16) \
560v =24v^{2} -384 \
24v^{2} -560v -384=0 \
Упростим, разделив на 8:
3v^{2} -70v -48=0
$$

**Шаг 5: Решим квадратное уравнение.**

$$
v = \frac{70 \pm \sqrt{4900 + 576}}{6} = \frac{70 \pm \sqrt{5476}}{6} = \frac{70 \pm 74}{6}
$$

$$
v_1 = \frac{144}{6} =24, \quad v_2 = \frac{-4}{6} \ (\text{отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной})
$$

**Ответ:**
Скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч.

---

### 5*. Решение системы уравнений

Дано:
$$
\begin{cases}
\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 2, \
\frac{3}{x+y} + \frac{4}{x-y} = 7.
\end{cases}
$$

**Шаг 1: Введем новые переменные.**

Пусть:
$$
a = \frac{1}{x + y}, \quad b = \frac{1}{x - y}
$$

Тогда система преобразуется к виду:
$$
\begin{cases}
a + b = 2, \
3a + 4b = 7.
\end{cases}
$$

**Шаг 2: Решим систему относительно $$ a $$ и $$ b $$.**

Из первого уравнения:
$$
a = 2 - b
$$

Подставим во второе уравнение:
$$
3(2 - b) + 4b =7 \
6 -3b +4b =7 \
b=7-6=1
$$

Тогда:
$$
a=2-1=1
$$

**Шаг 3: Вернемся к исходным переменным.**

Имеем:
$$
a=1 \Rightarrow \frac{1}{x + y}=1 \Rightarrow x + y =1
$$
$$
b=1 \Rightarrow \frac{1}{x - y}=1 \Rightarrow x - y =1
$$

**Шаг 4: Решим систему линейных уравнений.**

$$
x + y =1 \quad (1) \
x - y =1 \quad (2)
$$

Сложим (1) и (2):
$$
2x =2 \Rightarrow x=1
$$

Подставим в (1):
$$
1 + y =1 \Rightarrow y=0
$$

**Проверка:**

Подставляем $$ x=1, y=0 $$ в исходную систему:

$$
\frac{1}{1 +0} + \frac{1}{1 -0} =1 +1=2 \quad \text{(верно)}
$$
$$
\frac{3}{1 +0} + \frac{4}{1 -0} =3 +4=7 \quad \text{(верно)}
$$

**Ответ:**
Система имеет единственное решение:
$$
(x,\ y) = (1,\ 0)
$$
1. **Графический способ решения системы:** - Система уравнений: $$ \begin{cases} 2x^{2} + 4x + y = 2 \ x - 3y = 1 \end{cases} $$ - Решение: $$ x \approx 0.447, y \approx -0.184 $$ и $$ x \approx -2.613, y \approx -1.204 $$. 2. **Метод подстановки:** - Система уравнений: $$ \begin{cases} 5x + y - x^{2} = 1 \ x - y = 4 \end{cases} $$ - Решение: $$ (5, 1) $$ и $$ (1, -3) $$. 3. **Метод сложения:** - Система уравнений: $$ \begin{cases} 4x^{2} - 8x + 2y = 2 \ 20x - 5y = 5 \end{cases} $$ - Решение: $$ (1, 3) $$ и $$ (-1, -5) $$.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Algebra Questions