\( y=\sinh (x) \)

双曲正弦函数（hyperbolic sine）定义如下： \[ y = \sinh(x) \] ### 定义 双曲正弦函数可以通过指数函数表示为： \[ \sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \] 其中，\( e \) 是自然对数的底数，约等于2.71828。 ### 性质 1. **奇函数**： \[ \sinh(-x) = -\sinh(x) \] 2. **导数**： \[ \frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x) \] 3. **反函数**： 双曲正弦函数的反函数称为双曲反正弦函数（arsinh或sinh⁻¹）： \[ \sinh^{-1}(y) = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1}) \] 4. **平方关系**： \[ \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 \] ### 图像 双曲正弦函数的图像类似于普通正弦函数，但其增长速度更快。函数图像关于原点对称，且随着 \( x \) 的增大或减小，函数值呈指数级增长。  *图1：双曲正弦函数 \( \sinh(x) \) 和双曲余弦函数 \( \cosh(x) \) 的图像* ### 应用 双曲正弦函数广泛应用于工程、物理学和数学领域。例如： - **悬链线**：描述悬挂在两点之间的均匀重力下挂绳的形状。 - **相对论**：在狭义相对论中，双曲函数用于描述洛伦兹变换。 - **电路分析**：在交流电路中，双曲函数用来解决某些微分方程。 ### 例题 **计算 \( \sinh(0) \) 的值** 根据定义： \[ \sinh(0) = \frac{e^{0} - e^{-0}}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0 \] **求导数** 已知： \[ \frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \] **反函数求解** 求 \( y = \sinh(x) \) 的反函数： \[ x = \sinh^{-1}(y) = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1}) \] 通过以上内容，希望能帮助你更好地理解双曲正弦函数 \( \sinh(x) \)。