3 Identifica cuáles de los siguientes polinomios están bien definidos: a. $$ P(x)=5 x^{3}+1 / 2 x^{2}-x $$ b. $$ Q(x)=x+1 $$ c. $$ R(x)=3 x^{-2}-5 x+6 $$ d. $$ M(x)=7 x $$ e. $$ A(x)=2 x^{3}+x^{1 / 2}-3 $$ f. $$ I(x)=3 x^{2}-5 x+6 $$ g. $$ C(x)=-3 m n x-6 n m x^{2} $$ h. $$ D(x)=x^{5}-1 / 4 x-1 $$ i. $$ G(x)=-3 x^{-2}+8 x^{-5}-4 $$ j. $$ F(x)=-6 $$

Question

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1. Recordemos que un polinomio en la variable $$x$$ es una expresión de la forma
   $$
   P(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0,
   $$
   donde cada exponente $$n, n-1, \dots, 1, 0$$ es un número entero no negativo y los coeficientes $$a_i$$ son constantes.

2. Analizamos cada caso:

- **a. $$ P(x)=5 x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-x $$**
     
     Los exponentes son $$3$$, $$2$$ e $$1$$ (implícito en $$-x$$), todos enteros no negativos.  
     $$\Rightarrow$$ Está bien definido.

- **b. $$ Q(x)=x+1 $$**
     
     Los exponentes son $$1$$ (en $$x$$) y $$0$$ (el término constante).  
     $$\Rightarrow$$ Está bien definido.

- **c. $$ R(x)=3 x^{-2}-5 x+6 $$**
     
     El término $$3x^{-2}$$ tiene exponente $$-2$$, que es negativo.  
     $$\Rightarrow$$ No está bien definido como polinomio.

- **d. $$ M(x)=7x $$**
     
     Contiene $$7x$$ (exponente $$1$$).  
     $$\Rightarrow$$ Está bien definido.

- **e. $$ A(x)=2 x^{3}+x^{1/2}-3 $$**
     
     El término $$x^{1/2}$$ tiene exponente $$1/2$$, que no es entero.  
     $$\Rightarrow$$ No está bien definido como polinomio.

- **f. $$ I(x)=3 x^{2}-5 x+6 $$**
     
     Los exponentes son $$2$$, $$1$$ y $$0$$.  
     $$\Rightarrow$$ Está bien definido.

- **g. $$ C(x)=-3mnx-6nmx^{2} $$**
     
     La expresión se escribe como:
     $$
     C(x)=(-3mn)x + (-6nm)x^{2}.
     $$
     Suponiendo que $$m$$ y $$n$$ son constantes, los coeficientes son constantes y los exponentes ($$1$$ y $$2$$) son enteros no negativos.  
     $$\Rightarrow$$ Está bien definido.

- **h. $$ D(x)=x^{5}-\frac{1}{4}x-1 $$**
     
     Los exponentes son $$5$$, $$1$$ y $$0$$.  
     $$\Rightarrow$$ Está bien definido.

- **i. $$ G(x)=-3 x^{-2}+8 x^{-5}-4 $$**
     
     Aquí los términos $$x^{-2}$$ y $$x^{-5}$$ tienen exponentes negativos.  
     $$\Rightarrow$$ No está bien definido como polinomio.

- **j. $$ F(x)=-6 $$**
     
     Es un polinomio constante (exponente $$0$$).  
     $$\Rightarrow$$ Está bien definido.

3. Conclusión:

Los polinomios que están bien definidos son:

- $$ P(x) $$
   - $$ Q(x) $$
   - $$ M(x) $$
   - $$ I(x) $$
   - $$ C(x) $$ (suponiendo que $$m$$ y $$n$$ son constantes)
   - $$ D(x) $$
   - $$ F(x) $$

Los que no están bien definidos son:

- $$ R(x) $$ (debido a $$x^{-2}$$)
   - $$ A(x) $$ (debido a $$x^{1/2}$$)
   - $$ G(x) $$ (debido a $$x^{-2}$$ y $$x^{-5}$$)
Los polinomios bien definidos son: - $$ P(x) $$ - $$ Q(x) $$ - $$ M(x) $$ - $$ I(x) $$ - $$ C(x) $$ (si $$m$$ y $$n$$ son constantes) - $$ D(x) $$ - $$ F(x) $$ Los que no son polinomios son: - $$ R(x) $$ - $$ A(x) $$ - $$ G(x) $$

3 Identifica cuáles de los siguientes polinomios están bien definidos:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.

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