En un triángulo $$ A B C $$, recto en $$ C $$, se tiene que: $$ \operatorname{ctg}\left(\frac{A}{2}\right) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{B}{2}\right)=4(\csc A+1) $$ Calcula el valor de la siguiente expresión: $$ \quad P=\operatorname{tg}^{2} A+3 \csc B $$

Question

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Consideremos un triángulo $$ABC$$ rectángulo en $$C$$. Entonces se cumple que
$$
A+B=90^\circ.
$$
Se nos da la ecuación
$$
\cot\left(\frac{A}{2}\right) \cdot \cot\left(\frac{B}{2}\right)=4\left(\csc A+1\right).
$$
Utilizaremos la identidad
$$
\cot\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta},
$$
por lo que

$$
\cot\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{\sin A} \quad \text{y} \quad \cot\frac{B}{2}=\frac{1+\cos B}{\sin B}.
$$
La ecuación original se convierte en
$$
\frac{(1+\cos A)(1+\cos B)}{\sin A\, \sin B}=4\left(\csc A+1\right)=4\left(\frac{1}{\sin A}+1\right)=\frac{4(1+\sin A)}{\sin A}.
$$
Multiplicando ambos lados por $$\sin A\, \sin B$$ obtenemos:
$$
(1+\cos A)(1+\cos B)=4(1+\sin A)\sin B. \tag{1}
$$

Como $$A+B=90^\circ$$, se cumple la relación de ángulos complementarios:
$$
\cos B=\sin A \quad \text{y} \quad \sin B=\cos A.
$$
Sustituyendo en la ecuación (1):
$$
(1+\cos A)(1+\sin A)=4(1+\sin A)\cos A.
$$
Como $$1+\sin A>0$$ (pues $$A$$ es agudo), podemos cancelar dicho factor:
$$
1+\cos A=4\cos A.
$$
Despejando:
$$
1=3\cos A \quad \Longrightarrow \quad \cos A=\frac{1}{3}.
$$
Entonces, usando la identidad $$ \sin^2A+\cos^2A=1$$,
$$
\sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
$$

Ahora se nos pide calcular la expresión
$$
P=\tan^2 A+3\csc B.
$$
Procedemos paso a paso.

1. Calculemos $$\tan^2 A$$:
$$
\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2},
$$
entonces
$$
\tan^2 A=(2\sqrt{2})^2=8.
$$

2. Para $$\csc B$$: Recordemos que $$B=90^\circ-A$$, de ahí
$$
\csc B=\csc(90^\circ-A)=\sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3.
$$

Finalmente, sustituimos en $$P$$:
$$
P=\tan^2 A+3\csc B=8+3\cdot 3=8+9=17.
$$

Por lo tanto, el valor de $$P$$ es
$$
\boxed{17}.
$$
El valor de $$ P $$ es 17.

En un triángulo , recto en , se tiene que:

Calcula el valor de la siguiente expresión:

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En un triángulo , recto en , se tiene que: Calcula el valor de la siguiente expresión: