Question 6 Para resolver el siguiente integral mediante las reglas para integrar potencias trigonométricas, (8 puntos) $$ \int \sec ^{4}(x) d x $$ Indica cuál de las siguientes corresponde a la sustitución necesaria para resolver el integral A. $$ d u=\operatorname{sen}(x) d x $$ B. $$ d u=\cos (x) d x $$ C. $$ d u=\sec ^{2}(x) d x $$ D. $$ d u=\sec (x) \tan (x) d x $$ E. $$ d u=d x $$ F. $$ d u=\tan (x) d x $$ Indica cuál de las siguientes identidades es necesaria pa resolver el integral A. $$ \sin ^{2} \theta=\frac{1-\cos 2 \theta}{2} $$ B. $$ \cos ^{2} \theta=\frac{1+\cos 2 \theta}{2} $$ C. $$ \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1 $$ D. $$ \tan ^{2} \theta+1=\sec ^{2} \theta $$ E. $$ \cot ^{2} \theta+1=\csc ^{2} \theta $$ F. Ninguna identidad PREGUNTA

Question

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Para integrar
$$
\int \sec^4(x)\,dx,
$$
se utiliza la técnica de sustituir una función cuya derivada aparezca en el integrando. Recordemos que la derivada de
$$
\tan(x)
$$
es
$$
\frac{d}{dx}\tan(x)=\sec^2(x).
$$
De esta forma, se toma la sustitución
$$
u=\tan(x)\quad \Rightarrow\quad du=\sec^2(x)\,dx.
$$
Por lo tanto, la opción correcta para la sustitución es la opción C.

Además, para expresar el integrando en función de $$ u $$ se debe usar la identidad trigonométrica que relaciona $$\sec^2(x)$$ y $$\tan^2(x)$$:
$$
\tan^2(x)+1=\sec^2(x).
$$
Esta identidad permite reescribir $$\sec^4(x)$$ de la siguiente manera:
$$
\sec^4(x)=\sec^2(x)\cdot\sec^2(x)=(\tan^2(x)+1)\sec^2(x).
$$
Con esta forma, al sustituir $$ u=\tan(x) $$ y $$ du=\sec^2(x)\,dx $$, se transforma el integral en
$$
\int (\tan^2(x)+1)\sec^2(x)\,dx = \int \left(u^2+1\right)du,
$$
lo que es mucho más sencillo de integrar.

Por lo tanto, la opción correcta para la identidad es la opción D.

Los resultados son:

- Sustitución: $$ du=\sec^2(x)\,dx $$ (opción C).
- Identidad: $$ \tan^2 \theta+1=\sec^2 \theta $$ (opción D).
Para resolver la integral $$\int \sec^4(x)\,dx$$, la sustitución correcta es $$ du = \sec^2(x)\,dx $$ (opción C). Además, la identidad trigonométrica necesaria es $$ \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta $$ (opción D).

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