Exercice 1. Soit $$ \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} $$ la base canonique de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ et soit $$ f: \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ l'endomorphisme de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ tel que, en base canonique, $$ f\left(\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \ x_{3} & x_{4} \end{array}\right]\right)=\left(\left[\begin{array}{cc} x_{1}+2 x_{3} & 2 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}-2 x_{4} \ -x_{3} & -2 x_{3}+x_{4} \end{array}\right]\right) $$ (a) Montrer que $$ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 0 \ 2 & -1 & 4 & -2 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right) $$ où $$ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) $$ est la matrice associée à $$ f $$ dans la base canonique. (b) Déterminer le polynôme caractéristique $$ \chi_{f}(x) $$. (c) Déterminer les valeurs propres de $$ f $$, leurs multiplicités algébriques et montrer que l'endomorphisme $$ f $$ est diagonalisable. (d) Déterminer une base $$ \mathcal{B}^{\prime} $$ de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ formée de vecteurs propres de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$, la matrice de changement de base $$ P:=\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right) $$ et la matrice diagonale $$ D:=\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}^{\prime}}(f) $$ telles que $$ \mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}^{\prime}}(f)=\left(\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right)\right)^{-1} \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right) $$ Autrement dit, $$ D=P^{-1} A P $$ où $$ A=\mu_{\mathcal{B}, B}(f) $$.

Question

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Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder étape par étape.

### (a) Montrer que $$\mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 0 \ 2 & -1 & 4 & -2 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right)$$

Nous devons exprimer l'application $$f$$ en termes de la base canonique $$\mathcal{B}$$. Pour cela, nous allons appliquer $$f$$ à chaque vecteur de la base $$\mathcal{B}$$ et exprimer le résultat en termes de cette même base.

1. **Calcul de $$f$$ sur les vecteurs de la base :**

- Pour $$e_1 = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{array}\right]$$:
     $$
     f(e_1) = f\left(\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{cc} 1 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 - 0 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \ -0 & -2 \cdot 0 + 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \ 0 & 0 \end{array}\right]
     $$

- Pour $$e_2 = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{array}\right]$$:
     $$
     f(e_2) = f\left(\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{cc} 0 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 - 1 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \ -0 & -2 \cdot 0 + 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \ 0 & 0 \end{array}\right]
     $$

- Pour $$e_3 = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{array}\right]$$:
     $$
     f(e_3) = f\left(\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{cc} 0 + 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 - 0 + 4 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \ -1 & -2 \cdot 1 + 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 2 & 4 \ -1 & -2 \end{array}\right]
     $$

- Pour $$e_4 = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{array}\right]$$:
     $$
     f(e_4) = f\left(\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{cc} 0 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 - 0 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \ -0 & -2 \cdot 0 + 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & -2 \ 0 & 1 \end{array}\right]
     $$

2. **Écriture des résultats en termes de la base $$\mathcal{B}$$**:

- $$f(e_1) = 1 e_1 + 0 e_2 + 2 e_3 + 0 e_4$$
   - $$f(e_2) = 0 e_1 - 1 e_2 + 0 e_3 + 0 e_4$$
   - $$f(e_3) = 2 e_1 + 4 e_2 - 1 e_3 - 2 e_4$$
   - $$f(e_4) = 0 e_1 + 0 e_2 - 2 e_3 + 1 e_4$$

3. **Construction de la matrice associée**:

En utilisant les coefficients trouvés, nous construisons la matrice $$A$$ associée à $$f$$ dans la base canonique $$\mathcal{B}$$:
   $$
   A = \begin{pmatrix}
   1 & 0 & 2 & 0 \
   0 & -1 & 4 & 0 \
   0 & 0 & -1 & -2 \
   0 & 0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   $$

### (b) Déterminer le polynôme caractéristique $$\chi_{f}(x)$$

Le polynôme caractéristique est donné par $$\chi_f(x) = \det(xI - A)$$, où $$I$$ est la matrice identité.

Calculons $$xI - A$$:
$$
xI - A = \begin{pmatrix}
x - 1 & 0 & -2 & 0 \
0 & x + 1 & -4 & 0 \
0 & 0 & x + 1 & 2 \
0 & 0 & 0 & x - 1
\end{pmatrix}
$$

Calculons le déterminant:
$$
\det(xI - A) = (x - 1) \det\begin{pmatrix}
x + 1 & -4 \
x + 1 & 2
\end{pmatrix}
$$

Calculons le déterminant de la matrice $$2 \times 2$$:
$$
\det\begin{pmatrix}
x + 1 & -4 \
x + 1 & 2
\end{pmatrix} = (x + 1)(2) - (x + 1)(-4) = 2(x + 1) + 4(x + 1) = 6(x + 1)
$$

Ainsi, nous avons:
$$
\det(xI - A) = (x - 1)(6(x + 1)) = 6(x - 
### (a) Matrice associée à $$ f $$ dans la base canonique La matrice $$ A $$ associée à l'endomorphisme $$ f $$ dans la base canonique $$\mathcal{B}$$ est : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \ 0 & -1 & 4 & 0 \ 0 & 0 & -1 & -2 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ ### (b) Polynôme caractéristique de $$ f $$ Le polynôme caractéristique $$ \chi_f(x) $$ est : $$ \chi_f(x) = 6(x - 1)(x + 1)^2 $$ ### (c) Valeurs propres et diagonalisabilité Les valeurs propres de $$ f $$ sont $$ 1 $$ et $$ -1 $$, chacune avec une multiplicité algébrique de 2. L'endomorphisme $$ f $$ est diagonalisable. ### (d) Base de vecteurs propres et matrices de changement de base Une base $$ \mathcal{B}' $$ de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ formée de vecteurs propres de $$ f $$ est : $$ \mathcal{B}' = \left\{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{array}\right] \right\} $$ La matrice de changement de base $$ P $$ est l'identité $$ I $$, car la base canonique est déjà une base de vecteurs propres. La matrice diagonale $$ D $$ est : $$ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Ainsi, nous avons : $$ D = P^{-1} A P $$

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