4) Si considerino le rotazioni (affini) $$ F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad F\binom{x_{1}}{x_{2}}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \ -1 & 0\end{array}\right)\binom{x_{1}}{x_{2}}+\binom{1}{2} $$ $$ G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad G\binom{x_{1}}{x_{2}}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \ \frac{4}{5} & -\frac{3}{5}\end{array}\right)\binom{x_{1}}{x_{2}}+\binom{1}{2} . $$ Determinare il centro delle rotazioni e il loro angolo (in senso antiorario).

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Per determinare il centro delle rotazioni affini $$ F $$ e $$ G $$ e l'angolo di rotazione in senso antiorario, procediamo come segue:

### Rotazione $$ F $$

La trasformazione affina $$ F $$ è data da:
$$
F\binom{x_{1}}{x_{2}}=\begin{pmatrix}0 & 1 \ -1 & 0\end{pmatrix}\binom{x_{1}}{x_{2}}+\binom{1}{2}
$$
Il **centro della rotazione** si trova risolvendo l'equazione:
$$
\mathbf{x} = A \mathbf{x} + \mathbf{b}
$$
dove 
$$
A = \begin{pmatrix}0 & 1 \ -1 & 0\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1 \ 2\end{pmatrix}
$$

Riscriviamo l'equazione:
$$
(I - A)\mathbf{x} = \mathbf{b} \quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix}1 & -1 \ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \ x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \ 2\end{pmatrix}
$$

Risolvendo il sistema:
$$
\begin{cases}
x_1 - x_2 = 1 \
x_1 + x_2 = 2
\end{cases}
$$
Sommiamo le due equazioni:
$$
2x_1 = 3 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{3}{2}
$$
Sostituendo in una delle equazioni:
$$
\frac{3}{2} + x_2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{1}{2}
$$

**Centro della rotazione $$ F $$:** $$\left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)$$

L'angolo di rotazione è determinato dalla matrice $$ A $$. La matrice $$ A $$ corrisponde a una rotazione di $$ 90^\circ $$ in senso antiorario.

### Rotazione $$ G $$

La trasformazione affina $$ G $$ è data da:
$$
G\binom{x_{1}}{x_{2}}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \ \frac{4}{5} & -\frac{3}{5}\end{pmatrix}\binom{x_{1}}{x_{2}}+\binom{1}{2}
$$
Analogamente, troviamo il centro risolvendo:
$$
(I - A)\mathbf{x} = \mathbf{b} \quad \text{con} \quad A = \begin{pmatrix}-\frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \ \frac{4}{5} & -\frac{3}{5}\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1 \ 2\end{pmatrix}
$$
Calcoliamo $$ I - A $$:
$$
I - A = \begin{pmatrix}1 + \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \ -\frac{4}{5} & 1 + \frac{3}{5}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{8}{5} & \frac{4}{5} \ -\frac{4}{5} & \frac{8}{5}\end{pmatrix}
$$
Risolvendo il sistema:
$$
\begin{cases}
\frac{8}{5}x_1 + \frac{4}{5}x_2 = 1 \
-\frac{4}{5}x_1 + \frac{8}{5}x_2 = 2
\end{cases}
$$
Moltiplichiamo per 5:
$$
\begin{cases}
8x_1 + 4x_2 = 5 \
-4x_1 + 8x_2 = 10
\end{cases}
$$
Risolvendo il sistema:
1. Dalla prima equazione: $$ 2x_1 + x_2 = \frac{5}{4} $$ $$\Rightarrow x_2 = \frac{5}{4} - 2x_1 $$
2. Sostituiamo nella seconda equazione:
$$
-4x_1 + 8\left(\frac{5}{4} - 2x_1\right) = 10 \quad \Rightarrow \quad -4x_1 + 10 - 16x_1 = 10 \quad \Rightarrow \quad -20x_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0
$$
$$
x_2 = \frac{5}{4}
$$

**Centro della rotazione $$ G $$:** $$\left( 0, \frac{5}{4} \right)$$

Per determinare l'**angolo di rotazione**, osserviamo la matrice $$ A $$:

$$
A = \begin{pmatrix}-\frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \ \frac{4}{5} & -\frac{3}{5}\end{pmatrix}
$$
Questa corrisponde a una rotazione di angolo $$ \theta $$ tale che:
$$
\cos \theta = -\frac{3}{5}, \quad \sin \theta = \frac{4}{5}
$$
Quindi:
$$
\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) \approx 126.87^\circ
$$
L'angolo è misurato in senso antiorario.

### Sintesi Finale

- **Rotazione $$ F $$:**
  - **Centro:** $$ \left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right) $$
  - **Angolo:** $$ 90^\circ $$ in senso antiorario

- **Rotazione $$ G $$:**
  - **Centro:** $$ \left(0, \dfrac{5}{4}\right) $$
  - **Angolo:** Circa $$ 126.87^\circ $$ in senso antiorario

**Risposta Complessiva:**

Il centro di F è il punto (3⁄2, ½) e F ruota di 90° in senso antiorario. Il centro di G è il punto (0, 5⁄4) e G ruota di un angolo antiorario di circa 126,87°. In sintesi:

• Centro di F: (3/2, 1/2), angolo 90° antiorario;
• Centro di G: (0, 5/4), angolo circa 126,87° antiorario.
**Centro e Angolo delle Rotazioni:** - **Rotazione F:** - **Centro:** (1.5, 0.5) - **Angolo:** 90° in senso antiorario - **Rotazione G:** - **Centro:** (0, 1.25) - **Angolo:** Circa 126.87° in senso antiorario

Si considerino le rotazioni (affini)

Determinare il centro delle rotazioni e il loro angolo (in senso antiorario).

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Applichiamo la trasformazione:
[

+

]
Da questo sistema, otteniamo
[

Related Questions

Latest Geometry Questions

Si considerino le rotazioni (affini) Determinare il centro delle rotazioni e il loro angolo (in senso antiorario).