Domanda 4 di 5 (1)Tempo rimanente: 00:54:03 4) Sia \( f \) un operatore lineare sullo spazio vettoriale \( \mathbb{R}^{3} \) tale che \( f(1,3,4)=(1,3,4) \). Allora: f non è iniettivo. f ha nucleo non banale. fè suriettivo. l'equazione caratteristica dif ammette almeno una soluzione reale.

Quando abbiamo un operatore lineare \( f \) che restituisce lo stesso vettore \( (1,3,4) \) per un certo input, ciò implica che \( f \) non può essere iniettivo. Infatti, un operatore è iniettivo solo se ogni vettore d'ingresso produce una mappa unica in uscita. Qui, la presenza di almeno un vettore che si mappa su se stesso suggerisce che ci sono altri vettori che potrebbero essere mappati nello stesso modo, rendendo il nucleo non banale. Un aspetto interessante lega la linearità degli operatori a spazi più complessi. Ad esempio, in fisica e ingegneria, gli operatori lineari sono utilizzati per analizzare sistemi dinamici. Le trasformazioni lineari semplificano la comprensione di fenomeni complessi, come la propagazione delle onde. Se un operatore non è iniettivo, questo potrebbe incidere sulla stabilità delle soluzioni nel contesto reale, rendendo l'analisi dei sistemi ancora più cruciale!