Traccia il grafico di una funzione che abbia le seguenti proprietà \[ \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-2 \quad \lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=1 \quad \lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=-1 \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 \]

Per tracciare il grafico di una funzione \( f(x) \) che soddisfi le seguenti proprietà: \[ \lim _{x \rightarrow -\infty} f(x) = -2, \quad \lim _{x \rightarrow -1^{-}} f(x) = 1, \quad \lim _{x \rightarrow -1^{+}} f(x) = -1, \quad \lim _{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0 \] segui questi passaggi: ### 1. Asintoti Orizzontali - **Per \( x \rightarrow -\infty \):** La funzione si avvicina all'asintoto orizzontale \( y = -2 \). - **Per \( x \rightarrow +\infty \):** La funzione si avvicina all'asintoto orizzontale \( y = 0 \). ### 2. Comportamento Vicino a \( x = -1 \) - **Da sinistra (\( x \rightarrow -1^{-} \)):** La funzione tende a \( y = 1 \). - **Da destra (\( x \rightarrow -1^{+} \)):** La funzione tende a \( y = -1 \). Questo indica una **discontinuità evanescente** (salto) in \( x = -1 \). ### 3. Costruzione del Grafico 1. **Disegna gli Asintoti:** - Traccia le linee \( y = -2 \) e \( y = 0 \) come asintoti orizzontali. 2. **Punto di Discontinuità:** - In \( x = -1 \), traccia una "falda" che si avvicina a \( y = 1 \) da sinistra e a \( y = -1 \) da destra, indicando il salto. 3. **Tracciamento della Funzione:** - **Per \( x < -1 \):** La funzione parte dall'asintoto \( y = -2 \) quando \( x \) tende a \(-\infty\) e aumenta verso \( y = 1 \) man mano che \( x \) si avvicina a \(-1 \). - **Per \( x > -1 \):** Dopo il salto a \( y = -1 \), la funzione diminuisce gradualmente verso l'asintoto \( y = 0 \) man mano che \( x \) aumenta verso \( +\infty \). ### 4. Esempio di Funzione Una possibile funzione che soddisfa queste condizioni è: \[ f(x) = \begin{cases} -2 + \dfrac{3}{1 + e^{x + 1}} & \text{se } x < -1 \\ -1 & \text{se } x \geq -1 \end{cases} \] **Note:** - Per \( x < -1 \), la funzione \( -2 + \dfrac{3}{1 + e^{x + 1}} \) si avvicina a \( -2 \) quando \( x \rightarrow -\infty \) e tende a \( 1 \) quando \( x \rightarrow -1^{-} \). - Per \( x \geq -1 \), la funzione è costante a \( -1 \), avvicinandosi a \( 0 \) quando \( x \rightarrow +\infty \). ### 5. Schizzo del Grafico Ecco una rappresentazione schematica del grafico: ``` y | 2 | --------- y = 1 (approssimazione) 1 | / 0 |-------------------------/------------------- y = 0 (asintoto) -1| \ -2|-------------------------\------------------- y = -2 (asintoto) | x = -1 ``` **Descrizione:** - La funzione si avvicina a \( y = -2 \) per \( x \rightarrow -\infty \). - A \( x = -1 \) c'è un salto da \( y = 1 \) (sinistra) a \( y = -1 \) (destra). - Per \( x > -1 \), la funzione tende a \( y = 0 \) per \( x \rightarrow +\infty \). ### 6. Considerazioni Finali Assicurati che la funzione sia continua tranne nel punto \( x = -1 \) e che rispetti gli asintoti e i limiti specificati. Puoi utilizzare software di grafico come GeoGebra o Desmos per visualizzare meglio la funzione e verificarne le proprietà.