Traccia il grafico di una funzione che abbia le seguenti proprietà $$ \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-2 \quad \lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=1 \quad \lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=-1 \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 $$

Question

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Per tracciare il grafico di una funzione $$ f(x) $$ che soddisfi le seguenti proprietà: $$ \lim _{x \rightarrow -\infty} f(x) = -2, \quad \lim _{x \rightarrow -1^{-}} f(x) = 1, \quad \lim _{x \rightarrow -1^{+}} f(x) = -1, \quad \lim _{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0 $$ segui questi passaggi: ### 1. Asintoti Orizzontali - **Per $$ x \rightarrow -\infty $$:** La funzione si avvicina all'asintoto orizzontale $$ y = -2 $$. - **Per $$ x \rightarrow +\infty $$:** La funzione si avvicina all'asintoto orizzontale $$ y = 0 $$. ### 2. Comportamento Vicino a $$ x = -1 $$ - **Da sinistra ($$ x \rightarrow -1^{-} $$):** La funzione tende a $$ y = 1 $$. - **Da destra ($$ x \rightarrow -1^{+} $$):** La funzione tende a $$ y = -1 $$. Questo indica una **discontinuità evanescente** (salto) in $$ x = -1 $$. ### 3. Costruzione del Grafico 1. **Disegna gli Asintoti:** - Traccia le linee $$ y = -2 $$ e $$ y = 0 $$ come asintoti orizzontali. 2. **Punto di Discontinuità:** - In $$ x = -1 $$, traccia una "falda" che si avvicina a $$ y = 1 $$ da sinistra e a $$ y = -1 $$ da destra, indicando il salto. 3. **Tracciamento della Funzione:** - **Per $$ x < -1 $$:** La funzione parte dall'asintoto $$ y = -2 $$ quando $$ x $$ tende a $$-\infty$$ e aumenta verso $$ y = 1 $$ man mano che $$ x $$ si avvicina a $$-1 $$. - **Per $$ x > -1 $$:** Dopo il salto a $$ y = -1 $$, la funzione diminuisce gradualmente verso l'asintoto $$ y = 0 $$ man mano che $$ x $$ aumenta verso $$ +\infty $$. ### 4. Esempio di Funzione Una possibile funzione che soddisfa queste condizioni è: $$ f(x) = \begin{cases} -2 + \dfrac{3}{1 + e^{x + 1}} & \text{se } x < -1 \ -1 & \text{se } x \geq -1 \end{cases} $$ **Note:** - Per $$ x < -1 $$, la funzione $$ -2 + \dfrac{3}{1 + e^{x + 1}} $$ si avvicina a $$ -2 $$ quando $$ x \rightarrow -\infty $$ e tende a $$ 1 $$ quando $$ x \rightarrow -1^{-} $$. - Per $$ x \geq -1 $$, la funzione è costante a $$ -1 $$, avvicinandosi a $$ 0 $$ quando $$ x \rightarrow +\infty $$. ### 5. Schizzo del Grafico Ecco una rappresentazione schematica del grafico: ``` y | 2 | --------- y = 1 (approssimazione) 1 | / 0 |-------------------------/------------------- y = 0 (asintoto) -1| \ -2|-------------------------\------------------- y = -2 (asintoto) | x = -1 ``` **Descrizione:** - La funzione si avvicina a $$ y = -2 $$ per $$ x \rightarrow -\infty $$. - A $$ x = -1 $$ c'è un salto da $$ y = 1 $$ (sinistra) a $$ y = -1 $$ (destra). - Per $$ x > -1 $$, la funzione tende a $$ y = 0 $$ per $$ x \rightarrow +\infty $$. ### 6. Considerazioni Finali Assicurati che la funzione sia continua tranne nel punto $$ x = -1 $$ e che rispetti gli asintoti e i limiti specificati. Puoi utilizzare software di grafico come GeoGebra o Desmos per visualizzare meglio la funzione e verificarne le proprietà. Per tracciare il grafico di una funzione con le seguenti proprietà: - Quando $$ x $$ tende a $$-\infty$$, la funzione si avvicina a $$ y = -2 $$. - Quando $$ x $$ tende a $$-1$$ da sinistra, la funzione tende a $$ y = 1 $$. - Quando $$ x $$ tende a $$-1$$ da destra, la funzione tende a $$ y = -1 $$. - Quando $$ x $$ tende a $$+\infty$$, la funzione si avvicina a $$ y = 0 $$. Segui questi passaggi: 1. **Disegna gli Asintoti Orizzontali:** - Traccia la linea $$ y = -2 $$ per $$ x \rightarrow -\infty $$. - Traccia la linea $$ y = 0 $$ per $$ x \rightarrow +\infty $$. 2. **Rappresenta la Discontinuità in $$ x = -1 $$:** - A $$ x = -1 $$, la funzione ha un salto da $$ y = 1 $$ (da sinistra) a $$ y = -1 $$ (da destra). 3. **Traccia la Funzione:** - Per $$ x < -1 $$, la funzione si avvicina a $$ y = -2 $$ e aumenta verso $$ y = 1 $$. - Per $$ x > -1 $$, la funzione diminuisce gradualmente verso $$ y = 0 $$. 4. **Esempio di Funzione:** $$ f(x) = \begin{cases} -2 + \dfrac{3}{1 + e^{x + 1}} & \text{se } x < -1 \ -1 & \text{se } x \geq -1 \end{cases} $$ 5. **Schizzo del Grafico:** - La funzione si avvicina a $$ y = -2 $$ per $$ x \rightarrow -\infty $$. - A $$ x = -1 $$ c'è un salto da $$ y = 1 $$ a $$ y = -1 $$. - Per $$ x > -1 $$, la funzione tende a $$ y = 0 $$ per $$ x \rightarrow +\infty $$. Assicurati che la funzione rispetti gli asintoti e i limiti specificati, e che sia continua tranne nel punto $$ x = -1 $$.

Traccia il grafico di una funzione che abbia le seguenti proprietà

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

1. Asintoti Orizzontali

2. Comportamento Vicino a

3. Costruzione del Grafico

4. Esempio di Funzione

5. Schizzo del Grafico

6. Considerazioni Finali

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