On pose, pour tout $$ x \in \mathbb{R}: A(x)=\sin 3 x+\sin x+4 \sqrt{3} \cos ^{3} x $$ 1 Sachant que : $$ \sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b $$ oú $$ a $$ et $$ b $$ sont deux nombres rêels, (1) Montrer que pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$ on a : $$ \sqrt{3} \cos x+\sin x=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) $$ (2) Déduire, dans $$ \mathbb{R} $$, les solutions de l'équation : $$ (e): \sqrt{3} \cos x+\sin x=1 $$ (1) Sachant que $$ : \sin p+\sin q=2 \sin \left(\frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right) $$ pour $$ p \in \mathbb{R} $$ et $$ q \in \mathbb{R}: $$ Montrer que $$ \sin 3 x+\sin x=4 \sin x \cos ^{2} x $$ (2) Déduire que pour tout $$ x \in \mathbb{R}: A(x)=4 \cos ^{2} x(\sqrt{3} \cos x+\sin x) $$ (1) Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation : $$ (E): A(x)=4 \cos ^{2} x $$ (2) Repésenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

Question

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.

### 1. Montrer que pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$, on a : 
$$
\sqrt{3} \cos x + \sin x = 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right)
$$

**Démonstration :**

Utilisons la formule de l'addition pour le sinus :
$$
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
$$
où $$ a = x $$ et $$ b = \frac{\pi}{3} $$.

Nous savons que :
$$
\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}
$$

En appliquant la formule, nous avons :
$$
\sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3}
$$
$$
= \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
= \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x
$$

En multipliant par 2, nous obtenons :
$$
2 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin x + \sqrt{3} \cos x
$$

Ainsi, nous avons montré que :
$$
\sqrt{3} \cos x + \sin x = 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right)
$$

### 2. Déduire, dans $$ \mathbb{R} $$, les solutions de l'équation : 
$$
\sqrt{3} \cos x + \sin x = 1
$$

**Démonstration :**

Nous remplaçons dans l'équation :
$$
2 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1
$$

En divisant par 2, nous avons :
$$
\sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
$$

Les solutions de $$ \sin y = \frac{1}{2} $$ sont :
$$
y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
$$

En remplaçant $$ y $$ par $$ x + \frac{\pi}{3} $$, nous avons :
1. $$ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi $$
2. $$ x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi $$

Résolvons ces équations :

1. Pour la première équation :
$$
x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi
$$

2. Pour la deuxième équation :
$$
x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
$$

Les solutions de l'équation $$ \sqrt{3} \cos x + \sin x = 1 $$ sont donc :
$$
x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{et} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
$$

### 3. Montrer que $$ \sin 3x + \sin x = 4 \sin x \cos^2 x $$

**Démonstration :**

Utilisons la formule :
$$
\sin p + \sin q = 2 \sin \left(\frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)
$$
où $$ p = 3x $$ et $$ q = x $$.

Calculons :
$$
\sin 3x + \sin x = 2 \sin \left(\frac{3x + x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x - x}{2}\right) = 2 \sin(2x) \cos(x)
$$

Sachant que $$ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $$, nous avons :
$$
2 \sin(2x) \cos(x) = 2(2 \sin x \cos x) \cos x = 4 \sin x \cos^2 x
$$

### 4. Déduire que pour tout $$ x \in \mathbb{R} : A(x) = 4 \cos^2 x (\sqrt{3} \cos x + \sin x) $$

**Démonstration :**

Nous avons :
$$
A(x) = \sin 3x + \sin x + 4 \sqrt{3} \cos^3 x
$$
En utilisant le résultat précédent :
$$
A(x) = 4 \sin x \cos^2 x + 4 \sqrt{3} \cos^3 x
$$
Facteur commun :
$$
A(x) = 4 \cos^2 x (\sin x + \sqrt{3} \cos x)
$$

### 5. Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation : 
$$
A(x) = 4 \cos^2 x
$$

**Démonstration :**

Nous avons :
$$
4 \cos^2 x (\sqrt{3} \cos x + \sin x) = 4 \cos^2 x
$$

En divisant par $$ 4 \cos^2 x $$ (en supposant $$ \cos x \neq 0 $$):
$$
\sqrt{3} \cos x + \sin x = 1
$$

Nous avons déjà résolu cette équation précédemment.

### 6. Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

Les solutions sont :
1. $$ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi $$
2. $$ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \
Pour résoudre l'équation $$ A(x) = 4 \cos^2 x $$, nous avons démontré que les solutions sont $$ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi $$ et $$ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$ pour tout entier $$ k $$.

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