12. \( \lim _{x \rightarrow 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}, \mathrm{R}: 12 \)

Para calcular o limite \[ \lim _{x \rightarrow 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}, \] seguimos os seguintes passos: 1. **Identificação da Indeterminação:** Substituindo \( x = 8 \) diretamente na expressão, obtemos: \[ \frac{8 - 8}{\sqrt[3]{8} - 2} = \frac{0}{2 - 2} = \frac{0}{0}, \] o que é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). 2. **Aplicação da Regra de L’Hôpital:** A Regra de L’Hôpital permite calcular o limite de uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \) derivando o numerador e o denominador separadamente. - Derivada do numerador \( f(x) = x - 8 \): \[ f'(x) = 1. \] - Derivada do denominador \( g(x) = \sqrt[3]{x} - 2 \): \[ g'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2/3}}. \] Portanto, o limite se transforma em: \[ \lim _{x \rightarrow 8} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1}{\frac{1}{3} x^{-2/3}} = \lim _{x \rightarrow 8} 3 x^{2/3}. \] 3. **Cálculo do Limite Simplificado:** Substituindo \( x = 8 \) na expressão simplificada: \[ 3 \cdot 8^{2/3} = 3 \cdot \left(2^3\right)^{2/3} = 3 \cdot 2^{2} = 3 \cdot 4 = 12. \] Portanto, \[ \lim _{x \rightarrow 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2} = 12. \]