Question
\[ y^{\prime \prime \prime}+(-17) y^{\prime \prime}+(63) y^{\prime}+(81) y=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=2, y^{\prime \prime}(0)=1 \] - Escriba la ecuación característica en función de \( r \) : - Indique las raíces de la ecuación característica (Ejemplo de escritura: \( \left\{r_{1}, r_{2}, \ldots r_{n}\right\} \) ): - Indique las soluciones homogéneas de la ecuación diferencial (Ejemplo de escritura: \( \left\{y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}\right\} \) sin las constantes): - Indique los valorẹs de las constantes del PVI (Ejemplo de escritura: \( \left\{C_{1}, C_{2}, \ldots C_{n}\right\} \) ):
Ask by Young Kelly. in Colombia
Feb 02,2025
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Answer
- **Ecuación característica:** \( r^{3} - 17 r^{2} + 63 r + 81 = 0 \)
- **Raíces:** \( \{-1, 9, 9\} \)
- **Soluciones homogéneas:** \( e^{-t}, e^{9t}, t\,e^{9t} \)
- **Constantes del PVI:** \( \left\{ \dfrac{23}{50}, \dfrac{27}{50}, -\dfrac{12}{5} \right\} \)
Solution
- **Ecuación característica en función de \( r \) :**
\[
r^{3} - 17 r^{2} + 63 r + 81 = 0
\]
- **Raíces de la ecuación característica:**
\[
\left\{\, -1,\; 9,\; 9 \,\right\}
\]
- **Soluciones homogéneas de la ecuación diferencial:**
\[
\left\{\, e^{-t},\; e^{9t},\; t\,e^{9t} \,\right\}
\]
- **Valores de las constantes del PVI:**
\[
\left\{\, \dfrac{23}{50},\; \dfrac{27}{50},\; -\dfrac{12}{5} \,\right\}
\]
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La ecuación característica para la ecuación diferencial dada es \( r^{3} - 17r^{2} + 63r + 81 = 0 \). Las raíces de la ecuación característica son \( \left\{3, 9, -3\right\} \). Las soluciones homogéneas de la ecuación diferencial son \( \left\{ y_{1} = e^{3x}, y_{2} = e^{9x}, y_{3} = e^{-3x} \right\} \). Los valores de las constantes del PVI son \( \left\{ C_{1} = 1, C_{2} = \frac{2}{6}, C_{3}= \frac{1}{3} \right\} \).
