Aprofunciando IEEAR 2018 - Adaptada) Considere um ângulo de medida $$ \frac{9 \pi}{4} $$ rad. A expressào geral dos arcos cóngruos para esse ângulo é: a) $$ 405^{\circ}+180^{\circ} \cdot k $$ b) $$ 45^{\circ}+\pi \cdot k $$ c) $$ 405^{\circ}+\pi \cdot k $$ d) $$ 45^{\circ}+360^{\circ} \cdot k $$ 12. (UNICENTRO 2016 - Adaptada) A menor determinaçāo positiva de um arco de 2 $$ 000^{\circ} $$ é: a) Um arco posicionado no $$ 3^{\circ} $$ quadrante. b) $$ 210^{\circ} $$. c) Um arco cuja expressâo geral é $$ 220^{\circ}+360^{\circ} k $$ d) $$ \frac{3 \pi}{2} $$ radianos. e) 310 radianos.

Question

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Para resolver o problema, vamos analisar cada item separadamente.

**1. Para o ângulo $$\frac{9\pi}{4}$$ radianos**

Sabemos que esse ângulo pode ser escrito como:
$$
\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}
$$
Isso significa que $$\frac{9\pi}{4}$$ radianos é equivalente a $$360^\circ + 45^\circ = 405^\circ$$.

Como dois ângulos são congruentes quando diferem de um múltiplo inteiro de $$360^\circ$$ (ou $$2\pi$$ radianos), a expressão geral para os arcos congruentes a esse ângulo (em graus) pode ser dada por:
$$
405^\circ + 360^\circ \cdot k, \quad \text{para todo } k \in \mathbb{Z}.
$$

Observando as alternativas, a opção que corresponde a essa expressão é:
- $$45^\circ + 360^\circ \cdot k$$.

Pois note que:
$$
45^\circ + 360^\circ \cdot k \quad \text{com } k = 1 \text{ dá } 45^\circ + 360^\circ = 405^\circ.
$$
Assim, a resposta correta é a opção **(d)**.

---

**2. Para um arco de $$2000^\circ$$**

O procedimento para encontrar a menor determinação positiva (ou “angulo reduzido”) é determinar o resto da divisão de $$2000^\circ$$ por $$360^\circ$$. Faça:
$$
2000^\circ - 360^\circ \cdot \left\lfloor \frac{2000}{360} \right\rfloor.
$$

Calculando:
$$
\frac{2000}{360} \approx 5,55,\quad \text{então } \left\lfloor \frac{2000}{360} \right\rfloor = 5,
$$
$$
2000^\circ - 360^\circ \cdot 5 = 2000^\circ - 1800^\circ = 200^\circ.
$$

Portanto, a menor determinação positiva é $$200^\circ$$. Como o terceiro quadrante abrange os ângulos entre $$180^\circ$$ e $$270^\circ$$, o arco de $$200^\circ$$ está posicionado no terceiro quadrante.

Analisando as alternativas disponíveis, a única que descreve o posicionamento do arco de $$200^\circ$$ é:
- Um arco posicionado no $$3^{\circ}$$ quadrante.

Assim, a resposta correta é a opção **(a)**.

---

Resumindo:

1. A expressão geral dos arcos congruentes a $$\frac{9\pi}{4}$$ rad é:
$$
45^\circ + 360^\circ \cdot k \quad (\text{opção (d)}).
$$

2. A menor determinação positiva do arco de $$2000^\circ$$ é $$200^\circ$$, ou seja, um arco posicionado no terceiro quadrante (opção (a)).
A expressão geral dos arcos congruentes a $$\frac{9\pi}{4}$$ radianos é $$45^\circ + 360^\circ \cdot k$$. A menor determinação positiva do arco de $$2000^\circ$$ é $$200^\circ$$, que está no terceiro quadrante.

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