4. La solución de la integral \( \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}\right)^{2}} d x \) es: \( \begin{array}{l}\text { a) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1-x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \\ \text { b) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|-\frac{1}{x e^{x}+1}+C \\ \text { c) } \ln \left|\frac{x e^{x}+1}{x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \\ \text { d) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C\end{array} \)

La integral dada es: \[ \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}\right)^{2}} \, dx \] Para resolver esta integral, utilizamos una sustitución adecuada. Sea \( u = 1 + x e^x \). Entonces, derivando respecto a \( x \): \[ \frac{du}{dx} = e^x (1 + x) \] Esto implica que: \[ du = e^x (x + 1) \, dx \quad \Rightarrow \quad (x + 1) \, dx = \frac{du}{e^x} \] Sustituyendo en la integral original: \[ \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}\right)^{2}} \, dx = \int \frac{1}{x u^2} \cdot \frac{du}{e^x} \] Dado que \( u = 1 + x e^x \) y \( e^x = \frac{u - 1}{x} \), simplificamos la integral a: \[ \int \frac{du}{u (1 + u)^2} \] Descomponiendo en fracciones parciales: \[ \frac{1}{u (1 + u)^2} = \frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u} - \frac{1}{(1 + u)^2} \] Integrando término por término: \[ \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u} - \frac{1}{(1 + u)^2} \right) du = \ln|u| - \ln|1 + u| + \frac{1}{1 + u} + C \] Reemplazando \( u = 1 + x e^x \): \[ \ln\left|\frac{x e^{x}}{1 + x e^{x}}\right| + \frac{1}{1 + x e^{x}} + C \] Comparando con las opciones proporcionadas, la respuesta correcta es: **d)** \[ \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \]