Esercizio 2. Si consideri l'endomorfismo $$ F $$ di $$ \mathbb{R}^{3} $$ la cui matrice canonica è $$ A=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \ 2 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 4\end{array}\right) $$ (a) Determinare la dimensione e una base di $$ \operatorname{Im}(F) $$ e $$ \operatorname{Ker}(F) $$ (b) Trovare, se esistono, una matrice diagonale $$ D $$ e una matrice invertibile $$ M $$ tali che $$ D= $$ $$ M^{-1} A M $$. (c) Trovare, se esistono, una matrice diagonale $$ D $$ e una matrice ortogonale $$ M $$ tali che $$ D= $$ $$ M^{-1} A M $$.

Question

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(a)

Per determinare la dimensione e una base di $$ \operatorname{Im}(F) $$ e $$ \operatorname{Ker}(F) $$, analizziamo la matrice $$ A $$:

$$
A = \begin{pmatrix}
2 & 2 & 0 \
2 & 2 & 0 \
0 & 0 & 4
\end{pmatrix}
$$

**Immagine di F ($$ \operatorname{Im}(F) $$):**

- **Dimensione:** La matrice $$ A $$ ha due colonne linearmente indipendenti: la terza colonna $$ \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 4\end{pmatrix} $$ è chiaramente indipendente dalle prime due, che sono identiche. Quindi, il rango di $$ A $$ è 2.
  
  $$
  \dim(\operatorname{Im}(F)) = 2
  $$

- **Base di $$ \operatorname{Im}(F) $$:** Possiamo scegliere due vettori dalle colonne di $$ A $$ che sono linearmente indipendenti:

$$
  \left\{ \begin{pmatrix}2 \ 2 \ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 4\end{pmatrix} \right\}
  $$

**Nucleo di F ($$ \operatorname{Ker}(F) $$):**

- **Dimensione:** Per il teorema del rango, sappiamo che:
  
  $$
  \dim(\operatorname{Ker}(F)) = \dim(\mathbb{R}^3) - \dim(\operatorname{Im}(F)) = 3 - 2 = 1
  $$

- **Base di $$ \operatorname{Ker}(F) $$:** Risolviamo il sistema $$ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $$:

$$
  \begin{cases}
  2x_1 + 2x_2 = 0 \
  2x_1 + 2x_2 = 0 \
  4x_3 = 0
  \end{cases}
  $$

Da qui otteniamo $$ x_3 = 0 $$ e $$ x_1 = -x_2 $$. Possiamo rappresentare il nucleo come:

$$
  \operatorname{Ker}(F) = \left\{ \begin{pmatrix} -t \ t \ 0 \end{pmatrix} \middle| \ t \in \mathbb{R} \right\}
  $$

Una base è quindi:

$$
  \left\{ \begin{pmatrix} -1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} \right\}
  $$

**Riassunto:**

- $$\dim(\operatorname{Im}(F)) = 2$$ con base $$\left\{ \begin{pmatrix}2 \ 2 \ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 4\end{pmatrix} \right\}$$
- $$\dim(\operatorname{Ker}(F)) = 1$$ con base $$\left\{ \begin{pmatrix}-1 \ 1 \ 0\end{pmatrix} \right\}$$
(a) **Dimensione e base di $$ \operatorname{Im}(F) $$ e $$ \operatorname{Ker}(F) $$:** - **Immagine di $$ F $$ ($$ \operatorname{Im}(F) $$):** - *Dimensione:* 2 - *Base:* $$\left\{ \begin{pmatrix}2 \ 2 \ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 4\end{pmatrix} \right\}$$ - **Nucleo di $$ F $$ ($$ \operatorname{Ker}(F) $$):** - *Dimensione:* 1 - *Base:* $$\left\{ \begin{pmatrix}-1 \ 1 \ 0\end{pmatrix} \right\}$$

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