Question
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Esercizio 2. Si consideri l’endomorfismo di la cui matrice canonica è
(a) Determinare la dimensione e una base di e
(b) Trovare, se esistono, una matrice diagonale e una matrice invertibile tali che
.
© Trovare, se esistono, una matrice diagonale e una matrice ortogonale tali che
.

Ask by Sherman Moran. in Italy
Jan 21,2025

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(a) Dimensione e base di e :
  • Immagine di ( ):
    • Dimensione: 2
    • Base:
  • Nucleo di ( ):
    • Dimensione: 1
    • Base:

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Bonus Knowledge

L’endomorfismo ha una matrice associata che presenta elementi ripetuti e una colonna isolata, il che ci porta a interessanti considerazioni sul suo comportamento. La dimensione dell’immagine di , che possiamo denotare come , può essere determinata osservando l’indipendenza lineare delle colonne di mentre per il nucleo seguiamo il teorema del rango e del nucleo.
Per il secondo punto, la diagonalizzazione della matrice può essere effettuata trovando gli autovalori e gli autovettori di , e costruendo matrici adeguate, mentre la ricerca di una matrice ortogonale richiede di verificare che gli autovettori trovati siano ortonormali, il che porterebbe a una diagonale di forma più elegante.

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