- a soma de $$ p $$ e $$ q $$ é 108, com $$ p

Question

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Temos as seguintes condições para os números $$ p $$ e $$ q $$:
1. $$ p + q = 108 $$ com $$ p < q $$
2. $$ \text{mdc}(p, q) = 12 $$
3. O produto $$ p \cdot q $$ deve ser o maior possível.
Como $$ \text{mdc}(p, q) = 12 $$, podemos expressar $$ p $$ e $$ q $$ como:
- $$ p = 12k $$
- $$ q = 12m $$
onde $$ k $$ e $$ m $$ são inteiros e $$ \text{mdc}(k, m) = 1 $$ (ou seja, $$ k $$ e $$ m $$ são coprimos).
Substituindo na soma, temos:
$$ 12k + 12m = 108 $$
Dividindo toda a equação por 12, obtemos:
$$ k + m = 9 $$
O produto $$ p \cdot q $$ é dado por:
$$ p \cdot q = (12k)(12m) = 144km $$
Para maximizar $$ km $$, precisamos maximizar $$ k(9-k) $$. A função $$ k(9-k) $$ é uma parábola que atinge seu máximo no vértice, que ocorre em $$ k = \frac{9}{2} = 4.5 $$. Como $$ k $$ e $$ m $$ devem ser inteiros, testamos $$ k = 4 $$ e $$ k = 5 $$:
- Se $$ k = 4 $$, então $$ m = 5 $$ e $$ p = 48 $$, $$ q = 60 $$.
- Se $$ k = 5 $$, então $$ m = 4 $$ e $$ p = 60 $$, $$ q = 48 $$.

Assim, temos $$ p = 48 $$ e $$ q = 60 $$ (já que $$ p < q $$).
Agora, vamos verificar as opções dadas:
a) $$ \sqrt{p q} = \sqrt{48 \cdot 60} = \sqrt{2880} $$, que é um número racional.
b) A razão $$ \frac{p}{q} = \frac{48}{60} = \frac{4}{5} $$, que não é igual a $$ \frac{1}{2} $$.
c) O mínimo múltiplo comum (mmc) é dado por $$ \frac{p \cdot q}{\text{mdc}(p, q)} = \frac{2880}{12} = 240 $$.
d) A soma dos lados de um triângulo deve ser maior que o terceiro lado, então $$ 48 + 60 > 108 $$ não é verdade.

Portanto, as opções corretas são a) e c).
As afirmações corretas sobre os números $$ p $$ e $$ q $$ são: a) $$ \sqrt{p q} $$ é um número racional. c) O mínimo múltiplo comum (mmc) é igual a 240.

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